Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro lambda dada a amostra observada, ou seja, log L(lambda mid x), e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
91077554104611137
O valor de log L(lambda=8 mid x), é de:
square

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Queremos encontrar a função de log verossimilhança log L(lambda mid x) para essa amostra e, mais especificamente, calcular o valor de log L(lambda=8 mid x).
Para resolver isso, vamos precisar conhecer:
  • A definição da função de verossimilhança para a distribuição de Poisson.
  • Como calcular o logaritmo dessa função.
  • Substituir os valores específicos da amostra e de lambda para obter o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função de verossimilhança para a distribuição de Poisson. Se temos uma amostra x = (x1, x2, dots, xn) de tamanho n, a verossimilhança L(lambda mid x) é dada por:
L(lambda mid x) = prodi=1^n e^-lambda lambda^xixi!
Isso significa que multiplicamos a probabilidade de cada observação individualmente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o logaritmo dessa função de verossimilhança, que é mais fácil de trabalhar, especialmente quando lidamos com produtos grandes. O logaritmo da verossimilhança log L(lambda mid x) fica:
log L(lambda mid x) = sumi=1^n ( -lambda + xi log lambda - log xi! )
Aqui, usamos a propriedade dos logaritmos que transforma produtos em somas.

Passo 4

Simplificando a expressão, podemos separar os termos que dependem de lambda dos que não dependem. Então temos:
log L(lambda mid x) = -nlambda + ( sumi=1^n xi ) log lambda - sumi=1^n log xi!
Agora, precisamos substituir lambda = 8 e os valores da amostra x.

Passo 5

Vamos supor que a amostra seja:
x = (9, 10, 7, 7, 5, 5, 4, 10, 4, 6, 1, 1, 1)
Primeiro, calculamos a soma dos xi:
sumi=1^13 xi = 9 + 10 + 7 + 7 + 5 + 5 + 4 + 10 + 4 + 6 + 1 + 1 + 1 = 70

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores na expressão da log-verossimilhança:
log L(8 mid x) = -13 times 8 + 70 times log 8 - sumi=1^13 log xi!
Calculando cada parte:
-13 times 8 = -104
70 times log 8 approx 70 times 2.079 = 145.53

Passo 7

Agora, precisamos calcular sumi=1^13 log xi!. Para isso, vamos calcular o fatorial de cada xi e depois o logaritmo:
log 9! &approx 12.801 log 10! &approx 15.104 log 7! &approx 8.525 log 7! &approx 8.525 log 5! &approx 4.787 log 5! &approx 4.787 log 4! &approx 3.178 log 10! &approx 15.104 log 4! &approx 3.178 log 6! &approx 6.579 log 1! &approx 0 log 1! &approx 0 log 1! &approx 0
Somando todos esses valores:
12.801 + 15.104 + 8.525 + 8.525 + 4.787 + 4.787 + 3.178 + 15.104 + 3.178 + 6.579 + 0 + 0 + 0 approx 82.783

Passo 8

Agora, substituímos todos os valores na expressão da log-verossimilhança:
log L(8 mid x) = -104 + 145.53 - 82.783 approx -104 + 145.53 - 82.783 = -41.25

Resposta

O valor de log L(lambda=8 mid x) é aproximadamente -41.25.

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