Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro
. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro
dada a amostra observada, ou seja,
, e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
91077554104611137
O valor de
, é de:
91077554104611137
O valor de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Queremos encontrar a função de log verossimilhança
para essa amostra e, mais especificamente, calcular o valor de
.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer:
- A definição da função de verossimilhança para a distribuição de Poisson.
- Como calcular o logaritmo dessa função.
- Substituir os valores específicos da amostra e de
para obter o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a função de verossimilhança para a distribuição de Poisson. Se temos uma amostra
de tamanho
, a verossimilhança
é dada por:
Isso significa que multiplicamos a probabilidade de cada observação individualmente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o logaritmo dessa função de verossimilhança, que é mais fácil de trabalhar, especialmente quando lidamos com produtos grandes. O logaritmo da verossimilhança
fica:
Aqui, usamos a propriedade dos logaritmos que transforma produtos em somas.
Passo 4
Simplificando a expressão, podemos separar os termos que dependem de
dos que não dependem. Então temos:
Agora, precisamos substituir
e os valores da amostra
.
Passo 5
Vamos supor que a amostra seja:
Primeiro, calculamos a soma dos
:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores na expressão da log-verossimilhança:
Calculando cada parte:
Passo 7
Agora, precisamos calcular
. Para isso, vamos calcular o fatorial de cada
e depois o logaritmo:
Somando todos esses valores:
Passo 8
Agora, substituímos todos os valores na expressão da log-verossimilhança:
Resposta
O valor de
é aproximadamente
.