Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro lambda dada a amostra observada, ou seja, log L(lambda mid x), e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais). 91077554104611137
O valor de log L(lambda=6 mid x), é de:
square

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve função de log verossimilhança para uma distribuição de Poisson. Temos uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população que segue essa distribuição, e queremos encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro lambda, ou seja, log L(lambda mid x). Além disso, precisamos calcular o valor de log L(lambda=6 mid x) com duas casas decimais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona a distribuição de Poisson e como montar a função de verossimilhança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos são raros e independentes. A função de probabilidade de massa da distribuição de Poisson é dada por:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Aqui, X é o número de eventos, k é um número inteiro não negativo (0, 1, 2, …), e lambda é o parâmetro da distribuição, que representa a taxa média de ocorrência dos eventos.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a função de verossimilhança. Para uma amostra aleatória x = (x1, x2, dots, xn) de tamanho n, a função de verossimilhança para o parâmetro lambda é o produto das probabilidades individuais de cada observação:
L(lambda mid x) = prodi=1^n P(X = xi) = prodi=1^n e^-lambda lambda^xixi!
Essa função nos diz quão “provável” é observar a amostra x dado um valor específico de lambda.

Passo 4

Para facilitar os cálculos, a gente costuma trabalhar com a função de log verossimilhança, que é o logaritmo da função de verossimilhança:
log L(lambda mid x) = sumi=1^n ( -lambda + xi log lambda - log(xi!) )
Simplificando, isso fica:
log L(lambda mid x) = -nlambda + ( sumi=1^n xi ) log lambda - sumi=1^n log(xi!)

Passo 5

Vamos agora aplicar isso à nossa amostra. Primeiro, precisamos identificar os valores observados na amostra. Pelo enunciado, temos a sequência numérica 91077554104611137, que vamos interpretar como 13 valores:
x = (9, 10, 7, 7, 5, 5, 4, 10, 46, 11, 1, 13, 7)
Vamos calcular a soma desses valores:
sumi=1^13 xi = 9 + 10 + 7 + 7 + 5 + 5 + 4 + 10 + 46 + 11 + 1 + 13 + 7 = 120
Agora, substituímos n = 13 e sum xi = 120 na função de log verossimilhança:
log L(lambda mid x) = -13lambda + 120 log lambda - sumi=1^13 log(xi!)
Como queremos calcular log L(lambda=6 mid x), substituímos lambda por 6:
log L(6 mid x) = -13 times 6 + 120 log 6 - sumi=1^13 log(xi!)
Vamos calcular cada parte:
  1. -13 times 6 = -78
  2. 120 log 6 approx 120 times 1.79176 approx 214.99
  3. sumi=1^13 log(xi!)
Para calcular sum log(xi!), precisamos encontrar o fatorial de cada xi e depois o logaritmo:
  • log(9!) approx log(362880) approx 12.8025
  • log(10!) approx log(3628800) approx 15.1044
  • log(7!) approx log(5040) approx 8.5252
  • log(7!) approx 8.5252
  • log(5!) approx log(120) approx 4.7875
  • log(5!) approx 4.7875
  • log(4!) approx log(24) approx 3.1781
  • log(10!) approx 15.1044
  • log(46!) approx 154.4984 (aproximadamente)
  • log(11!) approx 15.1044 + log(11) approx 15.1044 + 2.3979 = 17.5023
  • log(1!) = log(1) = 0
  • log(13!) approx 25.1912
  • log(7!) approx 8.5252
Somando tudo:
sum log(xi!) approx 12.8025 + 15.1044 + 8.5252 + 8.5252 + 4.7875 + 4.7875 + 3.1781 + 15.1044 + 154.4984 + 17.5023 + 0 + 25.1912 + 8.5252 approx 277.4060
Agora, substituímos de volta na função:
log L(6 mid x) = -78 + 214.99 - 277.4060 approx -78 + 214.99 - 277.4060 approx -140.416

Resposta

O valor de log L(lambda=6 mid x) é aproximadamente -140.42.

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