Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro
. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro
dada a amostra observada, ou seja,
, e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais). 91077554104611137
O valor de
, é de:
O valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve função de log verossimilhança para uma distribuição de Poisson. Temos uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população que segue essa distribuição, e queremos encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro
, ou seja,
. Além disso, precisamos calcular o valor de
com duas casas decimais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona a distribuição de Poisson e como montar a função de verossimilhança.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos são raros e independentes. A função de probabilidade de massa da distribuição de Poisson é dada por:
Aqui,
é o número de eventos,
é um número inteiro não negativo (0, 1, 2, …), e
é o parâmetro da distribuição, que representa a taxa média de ocorrência dos eventos.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a função de verossimilhança. Para uma amostra aleatória
de tamanho
, a função de verossimilhança para o parâmetro
é o produto das probabilidades individuais de cada observação:
Essa função nos diz quão “provável” é observar a amostra
dado um valor específico de
.
Passo 4
Para facilitar os cálculos, a gente costuma trabalhar com a função de log verossimilhança, que é o logaritmo da função de verossimilhança:
Simplificando, isso fica:
Passo 5
Vamos agora aplicar isso à nossa amostra. Primeiro, precisamos identificar os valores observados na amostra. Pelo enunciado, temos a sequência numérica 91077554104611137, que vamos interpretar como 13 valores:
Vamos calcular a soma desses valores:
Agora, substituímos
e
na função de log verossimilhança:
Como queremos calcular
, substituímos
por 6:
Vamos calcular cada parte:
Para calcular
, precisamos encontrar o fatorial de cada
e depois o logaritmo:
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(aproximadamente) -
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Somando tudo:
Agora, substituímos de volta na função:
Resposta
O valor de
é aproximadamente -140.42.