Seja (X1, ldots, Xn) uma amostra de tamanho n de uma variável aleatória X com distribuição Uniforme Contínua no intervalo [0, theta]. Determine a função de verossimilhança do parâmetro theta.
Escolha uma opção:
theta^2
1theta^n
barx
theta2
log (theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma amostra $ X_{1}, ···, X_{n} $ de uma variável aleatória que segue uma distribuição Uniforme Contínua no intervalo X1, ldots, Xn . Nosso objetivo é encontrar a função de verossimilhança para o parâmetro [0, theta]. Para isso, vamos precisar entender o que é função de verossimilhança e como ela se aplica à distribuição uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de verossimilhança. Em estatística, a função de verossimilhança nos ajuda a entender quão provável é observarmos os dados que temos, dado um determinado valor de parâmetro do modelo. No nosso caso, queremos saber quão provável é observar os $ X_i $ que temos, dado um valor específico de Xi .

Passo 3

Como estamos lidando com uma distribuição Uniforme Contínua no intervalo [0, theta], a função densidade de probabilidade (pdf) dessa distribuição é dada por:
f(x; theta) = 1theta, & se 0 <= x <= theta 0, & caso contrário á
Isso significa que todos os valores no intervalo [0, theta] são igualmente prováveis.

Passo 4

Agora, a função de verossimilhança $ L(\theta) $ para uma amostra de tamanho $ n $ é o produto das funções de densidade das observações individuais. Como as observações são independentes, temos:
L(theta)
Isso porque cada $ f(X_i; \theta) = \frac{1}{\theta} $ para $ X_i $ no intervalo n , e multiplicamos isso $ n $ vezes.

Resposta

A função de verossimilhança do parâmetro theta é 1theta^n.

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