Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro lambda dada a amostra observada, ou seja, log L(lambda mid x), e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
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O valor de lambda para o qual a função log L(lambda mid x) atinge o seu máximo, é de:
square

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Temos uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Nosso objetivo é encontrar a função de log verossimilhança, log L(lambda mid x), e determinar o valor de lambda que maximiza essa função. Para isso, vamos usar conceitos de estatística de probabilidade, especificamente sobre distribuições de Poisson e estimativa de máxima verossimilhança (MLE).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço. A função de massa de probabilidade (PMF) da distribuição de Poisson é dada por:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
onde:
  • k é o número de eventos,
  • lambda é o parâmetro da distribuição (média de eventos por intervalo),
  • e é a base dos logaritmos naturais.

Passo 3

Agora, vamos construir a função de verossimilhança. A verossimilhança é a probabilidade de observarmos os dados da amostra dado um parâmetro lambda. Para uma amostra independente e identicamente distribuída (i.i.d.), a verossimilhança é o produto das probabilidades individuais:
L(lambda mid x) = prodi=1^n P(Xi = xi) = prodi=1^n e^-lambda lambda^xixi!
Onde:
  • n = 13 é o tamanho da amostra,
  • xi são os valores observados na amostra.

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com a log verossimilhança, que é o logaritmo da função de verossimilhança:
log L(lambda mid x) = log ( prodi=1^n e^-lambda lambda^xixi! )
Usando a propriedade dos logaritmos que transforma produtos em somas, temos:
log L(lambda mid x) = sumi=1^n ( -lambda + xi log lambda - log(xi!) )
Simplificando:
log L(lambda mid x) = -nlambda + ( sumi=1^n xi ) log lambda - sumi=1^n log(xi!)

Passo 5

Para encontrar o valor de lambda que maximiza a função de log verossimilhança, precisamos derivar log L(lambda mid x) em relação a lambda e igualar a derivada a zero:
ddlambda log L(lambda mid x) = -n + sumi=1^n xilambda = 0
Resolvendo para lambda:
-n + sumi=1^n xilambda = 0 sumi=1^n xilambda = n lambda = sumi=1^n xin

Passo 6

Ou seja, o valor de lambda que maximiza a função de log verossimilhança é a média aritmética dos valores observados na amostra. Portanto:
lambda = 1n sumi=1^n xi

Passo 7

Agora, para calcular o valor exato de lambda, precisamos somar todos os valores da amostra e dividir pelo tamanho da amostra (13). Supondo que a soma dos valores da amostra seja S, temos:
lambda = S13
(Observação: Como os valores específicos da amostra não foram claramente fornecidos, substitua S pela soma real dos seus dados para obter o valor final de lambda com duas casas decimais.)

Resposta

O valor de lambda que maximiza a função de log verossimilhança é a média aritmética da amostra. Portanto:
lambda = sumi=1^13 xi13
Substitua os valores da sua amostra na fórmula acima e calcule para obter lambda com duas casas decimais.

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