Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro
. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro
dada a amostra observada, ou seja,
, e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
91077554104611137
O valor de
para o qual a função
atinge o seu máximo, é de:
91077554104611137
O valor de
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Temos uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Nosso objetivo é encontrar a função de log verossimilhança,
, e determinar o valor de
que maximiza essa função. Para isso, vamos usar conceitos de estatística de probabilidade, especificamente sobre distribuições de Poisson e estimativa de máxima verossimilhança (MLE).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço. A função de massa de probabilidade (PMF) da distribuição de Poisson é dada por:
onde:
-
é o número de eventos, -
é o parâmetro da distribuição (média de eventos por intervalo), -
é a base dos logaritmos naturais.
Passo 3
Agora, vamos construir a função de verossimilhança. A verossimilhança é a probabilidade de observarmos os dados da amostra dado um parâmetro
. Para uma amostra independente e identicamente distribuída (i.i.d.), a verossimilhança é o produto das probabilidades individuais:
Onde:
-
é o tamanho da amostra, -
são os valores observados na amostra.
Passo 4
Para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com a log verossimilhança, que é o logaritmo da função de verossimilhança:
Usando a propriedade dos logaritmos que transforma produtos em somas, temos:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza a função de log verossimilhança, precisamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Ou seja, o valor de
que maximiza a função de log verossimilhança é a média aritmética dos valores observados na amostra. Portanto:
Passo 7
Agora, para calcular o valor exato de
, precisamos somar todos os valores da amostra e dividir pelo tamanho da amostra (13). Supondo que a soma dos valores da amostra seja
, temos:
(Observação: Como os valores específicos da amostra não foram claramente fornecidos, substitua
pela soma real dos seus dados para obter o valor final de
com duas casas decimais.)
Resposta
O valor de
que maximiza a função de log verossimilhança é a média aritmética da amostra. Portanto:
Substitua os valores da sua amostra na fórmula acima e calcule para obter
com duas casas decimais.