Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 9 retirada de uma população com distribüição Bernoulli com parâmetro p. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro p dada a amostra observada, ou seja, log L(p mid x), e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais). 000101000
O valor de p para o qual a função log L(p mid x) atinge o seu máximo, é de: square

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma amostra aleatória de tamanho 9 retirada de uma população que segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro $ p $. Precisamos encontrar a função do log verossimilhança $ \log L(p \mid x) $ para o parâmetro $ p $ dado os dados observados, que são “000101000”. Além disso, temos que calcular o valor de $ p $ que faz com que essa função atinja seu máximo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma distribuição Bernoulli, como construir a função de verossimilhança e como maximizar essa função para encontrar o melhor valor de $ p $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição Bernoulli. Essa distribuição descreve experimentos que têm apenas dois resultados possíveis: sucesso (geralmente denotado por 1) e fracasso (denotado por 0). O parâmetro $ p $ representa a probabilidade de sucesso em um único ensaio.

Passo 3

Dada uma amostra de tamanho $ n $, a função de verossimilhança para a distribuição Bernoulli é dada por:
n
Aqui, $ \sum x_i $ representa o número total de sucessos na amostra.

Passo 4

No nosso caso, a amostra é “000101000”. Vamos contar quantos sucessos (1’s) temos:
sum xi = 2
E o tamanho da amostra é $ n = 9 $.

Passo 5

Substituindo esses valores na função de verossimilhança:
L(p mid x) = p^2 cdot (1 - p)^9 - 2 = p^2 cdot (1 - p)^7

Passo 6

Agora, queremos trabalhar com a função do log verossimilhança, que é o logaritmo da função de verossimilhança. Isso é feito porque trabalhar com logaritmos simplifica o cálculo, especialmente quando vamos derivar para encontrar o máximo.
log L(p mid x) = log(p^2 cdot (1 - p)^7) = 2 log p + 7 log(1 - p)

Passo 7

Para encontrar o valor de $ p $ que maximiza a função do log verossimilhança, vamos derivar essa função em relação a $ p $ e igualar a derivada a zero.
p

Passo 8

Resolvendo a equação:
2p = 71 - p
Multiplicando ambos os lados por $ p(1 - p) $:
p(1 - p)
Distribuindo o 2:
2(1 - p) = 7p
Somando $ 2p $ em ambos os lados:
2 - 2p = 7p
Dividindo por 9:
2p

Resposta

O valor de $ p $ que maximiza a função do log verossimilhança é 0,22.

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