Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 9 retirada de uma população com distribüição Bernoulli com parâmetro
. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro
dada a amostra observada, ou seja,
, e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais). 000101000
O valor de
para o qual a função
atinge o seu máximo, é de:
O valor de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma amostra aleatória de tamanho 9 retirada de uma população que segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro $ p $. Precisamos encontrar a função do log verossimilhança $ \log L(p \mid x) $ para o parâmetro $ p $ dado os dados observados, que são “000101000”. Além disso, temos que calcular o valor de $ p $ que faz com que essa função atinja seu máximo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma distribuição Bernoulli, como construir a função de verossimilhança e como maximizar essa função para encontrar o melhor valor de $ p $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição Bernoulli. Essa distribuição descreve experimentos que têm apenas dois resultados possíveis: sucesso (geralmente denotado por 1) e fracasso (denotado por 0). O parâmetro $ p $ representa a probabilidade de sucesso em um único ensaio.
Passo 3
Dada uma amostra de tamanho $ n $, a função de verossimilhança para a distribuição Bernoulli é dada por:
Aqui, $ \sum x_i $ representa o número total de sucessos na amostra.
Passo 4
No nosso caso, a amostra é “000101000”. Vamos contar quantos sucessos (1’s) temos:
E o tamanho da amostra é $ n = 9 $.
Passo 5
Substituindo esses valores na função de verossimilhança:
Passo 6
Agora, queremos trabalhar com a função do log verossimilhança, que é o logaritmo da função de verossimilhança. Isso é feito porque trabalhar com logaritmos simplifica o cálculo, especialmente quando vamos derivar para encontrar o máximo.
Passo 7
Para encontrar o valor de $ p $ que maximiza a função do log verossimilhança, vamos derivar essa função em relação a $ p $ e igualar a derivada a zero.
Passo 8
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por $ p(1 - p) $:
Distribuindo o 2:
Somando $ 2p $ em ambos os lados:
Dividindo por 9:
Resposta
O valor de $ p $ que maximiza a função do log verossimilhança é 0,22.