Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 9 retirada de uma população com distribüição Bernoulli com parâmetro p. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro p dada a amostra observada, ou seja, log L(p mid x), e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais). 000101000
O valor de log L(p=0.2 mid x), é de: square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro $ p $ para uma amostra de uma distribuição Bernoulli. Depois, precisamos calcular esse log da verossimilhança quando $ p = 0.2 $. Para isso, vamos precisar entender o que é a distribuição Bernoulli e como montar a função de verossimilhança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição Bernoulli. Ela descreve um experimento que tem dois possíveis resultados: sucesso (1) com probabilidade $ p $ e fracasso (0) com probabilidade $ 1 - p $. No nosso caso, a amostra é $ 000101000 $, que tem 9 observações.

Passo 3

Vamos contar quantos sucessos (1’s) e fracassos (0’s) temos na amostra. Observando a sequência:
000101000
Temos 2 sucessos (1’s) e 7 fracassos (0’s).

Passo 4

A função de verossimilhança para uma distribuição Bernoulli é dada por:
L(p mid x) = p^k (1 - p)^n - k
onde:
  • $ k $ é o número de sucessos,
  • $ n $ é o tamanho da amostra.
No nosso caso, $ k = 2 $ e $ n = 9 $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função de log verossimilhança, que é o logaritmo natural da função de verossimilhança:
log L(p mid x) = log(p^k (1 - p)^n - k) = k ln(p) + (n - k) ln(1 - p)

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
log L(p mid x) = 2 ln(p) + 7 ln(1 - p)

Passo 7

Agora, vamos calcular $ \log L(p = 0.2 \mid x) $. Substituindo $ p = 0.2 $:
log L(p = 0.2 mid x)

Passo 8

Vamos calcular cada parte separadamente:
ln(0.2) approx -1.6094
ln(0.8) approx -0.2231

Passo 9

Multiplicando pelos coeficientes:
2 times (-1.6094) = -3.2188
7 times (-0.2231) = -1.5617

Passo 10

Somando os resultados:
-3.2188 + (-1.5617) = -4.7805

Resposta

O valor de $ \log L(p=0.2 \mid x) $ é aproximadamente -4.78.

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