Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 9 retirada de uma população com distribüição Bernoulli com parâmetro
. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro
dada a amostra observada, ou seja,
, e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais). 000101000
O valor de
, é de:
O valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro $ p $ para uma amostra de uma distribuição Bernoulli. Depois, precisamos calcular esse log da verossimilhança quando $ p = 0.2 $. Para isso, vamos precisar entender o que é a distribuição Bernoulli e como montar a função de verossimilhança.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição Bernoulli. Ela descreve um experimento que tem dois possíveis resultados: sucesso (1) com probabilidade $ p $ e fracasso (0) com probabilidade $ 1 - p $. No nosso caso, a amostra é $ 000101000 $, que tem 9 observações.
Passo 3
Vamos contar quantos sucessos (1’s) e fracassos (0’s) temos na amostra. Observando a sequência:
Temos 2 sucessos (1’s) e 7 fracassos (0’s).
Passo 4
A função de verossimilhança para uma distribuição Bernoulli é dada por:
onde:
- $ k $ é o número de sucessos,
- $ n $ é o tamanho da amostra.
No nosso caso, $ k = 2 $ e $ n = 9 $.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função de log verossimilhança, que é o logaritmo natural da função de verossimilhança:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ \log L(p = 0.2 \mid x) $. Substituindo $ p = 0.2 $:
Passo 8
Vamos calcular cada parte separadamente:
Passo 9
Multiplicando pelos coeficientes:
Passo 10
Somando os resultados:
Resposta
O valor de $ \log L(p=0.2 \mid x) $ é aproximadamente -4.78.