Seja
uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é dada por
Determine o valor esperado de
.
Resposta:
Verificar
Resposta:
Verificar
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre uma variável aleatória $ X $ com uma função densidade de probabilidade definida por:
Nosso objetivo aqui é descobrir o valor esperado dessa variável $ X $. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre variáveis aleatórias contínuas e como calcular o valor esperado delas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função densidade de probabilidade. Ela basicamente nos diz a “distribuição” da probabilidade sobre os possíveis valores que a variável aleatória pode assumir. No caso, $ f(x) = \frac{1}{95} $ significa que a probabilidade é constante em todo o intervalo de 0 a 95.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o valor esperado. O valor esperado, também conhecido como média, nos dá uma ideia de onde está “centrada” a distribuição da variável aleatória. Para variáveis contínuas, a fórmula do valor esperado $ E[X] $ é:
Onde:
- $ a $ e $ b $ são os limites do intervalo (no nosso caso, 0 e 95),
- $ f(x) $ é a função densidade de probabilidade.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Substituindo os valores que temos:
Para resolver essa integral, primeiro podemos tirar o $ \frac{1}{95} $ da integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral $ \int_{0}^{95} x , dx $. A antiderivada de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^2}{2} $:
Passo 6
Voltando à expressão do valor esperado:
Resposta
O valor esperado de $ X $ é $ \boxed{47.5} $.