Resolva a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
a dd t x(t)+b x(t)+c=0
com condição inicial x(0)=x0, sendo a, b e c constantes positivas. Use o método da transformada
de Laplace (vulgo operador L ). Após obter a solução analítica:
(a) Faça gráficos de x(t) para diferentes valores de a, mantendo b, c e x0 fixos.
(b) Interprete fisicamente o comportamento da solução.

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO de primeira ordem
a,dd tx(t)+b,x(t)+c=0,
com condição inicial x(0)=x0 e constantes positivas a,b,c, usando transformada de Laplace. É uma EDO linear inhomogênea cuja solução será uma exponencial que relaxa para um valor de equilíbrio.

Passo 2

Aplicando L em cada termo, lembrando que
Lx'(t)=sX(s)-x0 e Lc=c/s, obtemos
al(sX(s)-x0r)+b,X(s)+cs=0
Agrupando termos em X(s):
(a,s+b),X(s)=a,x0-cs,
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X(s)=a,x0a,s+b;-;cs,(a,s+b)

Passo 3

Para inverter, fazemos frações parciais em
dfraccs,(a,s+b)=dfracAs+dfracBa,s+b.
Igualando c=A(a,s+b)+B,s achamos
A=cb, B=-a,cb
Assim
X(s)=aa,s+bl(x0+tfraccbr);-;cb,1s
Invertendo term‐a‐term via tabelas:
x(t)=l(x0+cbr),e^-bat;-;cb

Passo 4

O tempo característico de relaxação é
tau=tfracab. Mantendo b,c,x0 fixos e variando a, temos
– para a pequeno ( tau pequeno), decaimento rápido;
– para a grande ( tau grande), decaimento lento.
Num gráfico de x(t) vs.\ t teríamos três curvas exponenciais convergindo para -c/b mas com inclinações (taxas de decaimento) distintas conforme a.

Passo 5

Fisicamente essa EDO modela um sistema de relaxação (por exemplo RC, amortecimento viscoelástico, etc.) que atinge o equilíbrio
xinfty=-cb
com constante de tempo tau=a/b. O parâmetro a atua como “inércia” (quanto maior, mais lenta a resposta) e b como “amortecimento” (determina a taxa de decaimento exponencial). O termo c desloca o ponto de equilíbrio.

Resposta

x(t)=l(x0+cbr)e^-bat-cb
(a) Gráficos exponenciais com mesma assimptota -tfraccb e constantes de tempo tau=tfracab diferentes para cada a.
(b) O sistema relaxa exponencialmente para xinfty=-tfraccb; a controla a inércia e velocidade de resposta.

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