Resolva a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
com condição inicial
, sendo
e
constantes positivas. Use o método da transformada
de Laplace (vulgo operador
). Após obter a solução analítica:
(a) Faça gráficos de
para diferentes valores de
, mantendo
e
fixos.
(b) Interprete fisicamente o comportamento da solução.
(a) Faça gráficos de
(b) Interprete fisicamente o comportamento da solução.
Passo 1
O enunciado pede resolver a EDO de primeira ordem
com condição inicial
e constantes positivas
, usando transformada de Laplace. É uma EDO linear inhomogênea cuja solução será uma exponencial que relaxa para um valor de equilíbrio.
Passo 2
Aplicando
em cada termo, lembrando que
e
, obtemos
Agrupando termos em
:
logo
Passo 3
Para inverter, fazemos frações parciais em
.
Igualando achamos
Igualando
Assim
Invertendo term‐a‐term via tabelas:
Passo 4
O tempo característico de relaxação é
. Mantendo
fixos e variando
, temos
– para pequeno (
pequeno), decaimento rápido;
– para grande (
grande), decaimento lento.
Num gráfico de vs.\
teríamos três curvas exponenciais convergindo para
mas com inclinações (taxas de decaimento) distintas conforme
.
– para
– para
Num gráfico de
Passo 5
Fisicamente essa EDO modela um sistema de relaxação (por exemplo RC, amortecimento viscoelástico, etc.) que atinge o equilíbrio
com constante de tempo
. O parâmetro
atua como “inércia” (quanto maior, mais lenta a resposta) e
como “amortecimento” (determina a taxa de decaimento exponencial). O termo
desloca o ponto de equilíbrio.
Resposta
(a) Gráficos exponenciais com mesma assimptota
e constantes de tempo
diferentes para cada
.
(b) O sistema relaxa exponencialmente para ;
controla a inércia e velocidade de resposta.
(b) O sistema relaxa exponencialmente para