Considere o segunte PVI:
PV I=l (y^4+4 x^4+x y^3) d yd x=4 x^3 y+y^4 y(0)=1
  • Qual a solução geral dessa EDO ?
  • A solução constante y=0 é solução dessa EDO ?
  • O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
  • Existe solução única? Qual é?

Passo 1

O enunciado dá o PVI
l(y^4+4x^4+x,y^3r),dfracdydx=4x^3y+y^4, y(0)=1,
que é uma EDO de primeira ordem, homogênea (todas as parcelas têm grau 4 em x,y). Vamos resolvê-la por substituição y=vx, testar a solução constante y=0 e verificar as hipóteses do teorema de existência e unicidade.

Passo 2

Fazendo y=v(x),x temos
dydx=v+x,dvdx,
e
4x^3y+y^4=x^4l(4v+v^4r), y^4+4x^4+x,y^3 =x^4l(v^4+v^3+4r)
Logo
v+xdvdx =4v+v^4v^4+v^3+4 Longrightarrow xdvdx =4v+v^4v^4+v^3+4-v =-v^5v^4+v^3+4

Passo 3

Separamos variáveis:
v^4+v^3+4v^5,dv=-dxx
Integramos cada termo:
integral!l(v^-1+v^-2+4v^-5r),dv =ln|v|-v^-1-v^-4,
integral!-dxx=-ln|x|+C
Portanto
ln|v|-v^-1-v^-4=-ln|x|+C

Passo 4

Voltando a y com v=y/x e reorganizando:
lnl|yxr| -xy-x^4y^4 =-ln|x|+C Longrightarrow ln|y|-xy-x^4y^4=C
Essa é a solução geral implícita.

Passo 5

Verificamos y=0. No lado direito da EDO o denominador é y^4+4x^4+x,y^3l|y=0=4x^4, para xneq0. A razão
dot y=(4x^3y+y^4)/(4x^4)l|y=0=0,
logo yequiv0 satisfaz a EDO apenas em intervalos que não contêm x=0. Mas não atende a condição y(0)=1. Portanto y=0 não é solução do PVI.

Passo 6

Em torno do ponto (0,1) o denominador y^4+x,y^3+4x^4 não se anula (vale 1 em (0,1)), logo f(x,y)=(4x^3y+y^4)/(y^4+x,y^3+4x^4) é contínua e tem partial f/partial y contínua numa vizinhança de (0,1). Assim o teorema de existência e unicidade vale.

Passo 7

Para impor y(0)=1 basta pôr x=0,y=1 na solução geral
ln|y|-xy-x^4y^4=C Longrightarrow ln1-0-0=C;Rightarrow;C=0
Logo a única solução do PVI é
ln|y|-xy-x^4y^4=0

Resposta

Geral: ln|y|-dfracxy-dfracx^4y^4=C
A constante y=0 não satisfaz o PVI y(0)=1.
O PVI satisfaz as hipóteses do teorema de existência e unicidade.
Há solução única, dada por
ln|y|-xy-x^4y^4=0

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