O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
Existe solução única? Qual é?
Passo 1
O enunciado dá o PVI
que é uma EDO de primeira ordem, homogênea (todas as parcelas têm grau 4 em ). Vamos resolvê-la por substituição , testar a solução constante e verificar as hipóteses do teorema de existência e unicidade.
Passo 2
Fazendo temos
e
Logo
Passo 3
Separamos variáveis:
Integramos cada termo:
Portanto
Passo 4
Voltando a com e reorganizando:
Essa é a solução geral implícita.
Passo 5
Verificamos y=0. No lado direito da EDO o denominador é y^4+4x^4+x,y^3l|y=0=4x^4, para xneq0. A razão dot y=(4x^3y+y^4)/(4x^4)l|y=0=0,
logo yequiv0 satisfaz a EDO apenas em intervalos que não contêm x=0. Mas não atende a condição y(0)=1. Portanto y=0 não é solução do PVI.
Passo 6
Em torno do ponto (0,1) o denominador y^4+x,y^3+4x^4 não se anula (vale 1 em (0,1)), logo f(x,y)=(4x^3y+y^4)/(y^4+x,y^3+4x^4) é contínua e tem partial f/partial y contínua numa vizinhança de (0,1). Assim o teorema de existência e unicidade vale.
Passo 7
Para impor y(0)=1 basta pôr x=0,y=1 na solução geral
Geral: ln|y|-dfracxy-dfracx^4y^4=C
A constante y=0 não satisfaz o PVI y(0)=1.
O PVI satisfaz as hipóteses do teorema de existência e unicidade.
Há solução única, dada por