Calcular as integrais definidas
integral0^e d xx-x ln (x)

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral imprópria
I = integral0^e dxx - xln(x),
que reconhecemos como
I = integral0^e dxxl(1 - ln(x)r)
O conteúdo principal aqui é mudança de variável para tratar o termo ln(x) e em seguida verificar a convergência da integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = ln(x), x = e^t, dx = e^t,dt
O denominador vira
xl(1 - ln(x)r) = e^t(1 - t),
então a integral fica
dxx - xln(x) = e^t,dte^t(1 - t) = dt1 - t

Passo 3

Agora ajustamos os limites:
quando x to 0^+, t = ln(x)to -infty;
quando x to e, t = ln(e)=1.
Portanto
I = integral-infty^1 dt1 - t

Passo 4

Para verificar a convergência, basta olhar o comportamento perto de t=1. Temos
integral^1 dt1 - t = -lnl|1 - tr||^1^- ;longrightarrow; -ln(0^+) ;=; +infty
Logo a integral não converge (diverge para +infty).

Resposta

A integral integral0^e dxx - xln(x) é divergente (não converge).

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