Considere que A seja a área sob a curva y=1+x^{2}, de x=-1 a x=2.
Estime a medida dessa área usando três retângulos aproximantes e extremidades direitas.

Passo 1

O enunciado pede: estimar a área sob a curva y=1+x^{2} no intervalo de x=-1 até x=2 usando três retângulos aproximantes com extremidades direitas.
Informações dadas e o que vamos usar:
  • A função é f(x)=1+x^{2}.
  • O intervalo é [a,b]=[-1,2].
  • O número de retângulos é n=3.
  • A amostragem é pelas extremidades direitas de cada subintervalo.

Passo 2

Explicando a ideia (passo-a-passo, sem pressa): dividir o intervalo em n subintervalos de mesma largura \Delta x. Para a aproximação por retângulos com extremidades direitas, em cada subintervalo tomamos a altura do retângulo como f avaliada no ponto à direita do subintervalo. A soma das áreas dos retângulos é a aproximação:
\text{Área aproximada} \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x,Á
onde:
  • \Delta x=\dfrac{b-a}{n} é a largura de cada subintervalo,
  • x_i é o ponto direito do i-ésimo subintervalo, dado por x_i = a + i\,\Delta x para i=1,\dots,n.
Cada termo f(x_i)\,\Delta x representa a área do i-ésimo retângulo (altura \,f(x_i)\, vezes largura \,\Delta x\,).

Passo 3

Calcular \Delta x e os pontos da partição:
\Delta x=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{2-(-1)}{3}=\dfrac{3}{3}=1.
Os pontos da partição são
x_0=-1,\quad x_1=0,\quad x_2=1,\quad x_3=2.
Como usamos extremidades direitas, os pontos amostrados serão x_1,x_2,x_3.

Passo 4

Calcular as alturas dos retângulos avaliando f nas extremidades direitas:
A função é f(x)=1+x^{2}. Então
f(0)=1+0^{2}=1,
f(1)=1+1^{2}=1+1=2,
f(2)=1+2^{2}=1+4=5.
Esses são os três valores de altura que vamos usar.

Passo 5

Calcular a soma das áreas dos retângulos:
Cada retângulo tem largura \Delta x=1. Assim a aproximação por somatório é
\text{Área aproximada}= \sum_{i=1}^{3} f(x_i)\,\Delta x = \bigl(f(0)+f(1)+f(2)\bigr)\cdot 1.Á
Substituindo os valores:
\text{Área aproximada}=(1+2+5)\cdot 1 = 8.Á

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: a estimativa pelo método pedido (3 retângulos, extremidades direitas) deu \,8. Se quiser conferir o quão boa é a aproximação, dá para comparar com a integral exata \int_{-1}^{2} (1+x^{2})\,dx — mas isso é só para curiosidade; o pedido original era a estimativa com retângulos, que já fizemos. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — assim, na prova, é só seguir esse mesmo roteiro: calcular \Delta x, listar os pontos, avaliar f nos pontos de amostragem e somar.

Resposta

8

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