Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções:
b) f(x)=\sqrt{x}+5

Passo 1

O enunciado pede a primitiva mais geral (ou antiderivada geral) da função f(x)=\sqrt{x}+5. Ou seja, encontrar todas as funções F(x) tais que F'(x)=f(x). Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt{x}+5.
  • Lembrete importante: \sqrt{x} representa a raiz quadrada real, definida para x\ge 0. Portanto a primitiva será construída em intervalos onde f está definida (por exemplo em [0,\infty)).

Passo 2

Primeiro vamos reescrever \sqrt{x} como potência, porque fica mais simples de integrar com as regras usuais:
\sqrt{x}=x^{\tfrac{1}{2}}.
Assim podemos ver f(x) como
f(x)=x^{\tfrac{1}{2}}+5.

Passo 3

Agora lembro duas regras básicas de integração que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade: a integral de soma é soma das integrais, e constantes saem da integral. Em símbolos:
\int (g(x)+h(x))\,dx=\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx,\qquad \int a\cdot g(x)\,dx=a\int g(x)\,dx.
  • Fórmula da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Nesta fórmula, n é um número real que indica a potência de x.

Passo 4

Aplicando a linearidade à nossa função:
\int f(x)\,dx=\int \bigl(x^{\tfrac{1}{2}}+5\bigr)\,dx=\int x^{\tfrac{1}{2}}\,dx+\int 5\,dx.
Agora integro cada parcela separadamente.

Passo 5

Integração da primeira parcela usando a fórmula da potência com n=\tfrac{1}{2}:
\int x^{\tfrac{1}{2}}\,dx=\frac{x^{\tfrac{1}{2}+1}}{\tfrac{1}{2}+1}+C_1=\frac{x^{\tfrac{3}{2}}}{\tfrac{3}{2}}+C_1.
Simplificando a fração \dfrac{1}{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}, obtemos
\int x^{\tfrac{1}{2}}\,dx=\frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}+C_1.
Observação prática: x^{\tfrac{3}{2}}=(x^{1}) (x^{\tfrac{1}{2}})=x\sqrt{x}, então também se pode escrever \dfrac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}.

Passo 6

Integração da segunda parcela \int 5\,dx. Como 5 é constante, a integral é
\int 5\,dx=5x+C_2.

Passo 7

Somando as duas integrais e fundindo as constantes C_1 e C_2 numa única constante C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=\frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}+5x+C.

Passo 8

Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivando F(x),
F'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{\tfrac{1}{2}}+5 = x^{\tfrac{1}{2}}+5=\sqrt{x}+5,
que é exatamente f(x). Portanto F está correta.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}}+5x+C

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