Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede a primitiva mais geral (ou antiderivada geral) da função
. Ou seja, encontrar todas as funções
tais que
. Informações dadas:
- A função é
. - Lembrete importante:
representa a raiz quadrada real, definida para . Portanto a primitiva será construída em intervalos onde está definida (por exemplo em ).
Passo 2
Primeiro vamos reescrever
como potência, porque fica mais simples de integrar com as regras usuais:
Assim podemos ver
como
Passo 3
Agora lembro duas regras básicas de integração que vou usar (explicadas de forma simples):
- Regra da linearidade: a integral de soma é soma das integrais, e constantes saem da integral. Em símbolos:
- Fórmula da potência: para
,
onde
é a constante de integração. Nesta fórmula,
é um número real que indica a potência de
.
Passo 4
Aplicando a linearidade à nossa função:
Agora integro cada parcela separadamente.
Passo 5
Integração da primeira parcela usando a fórmula da potência com
:
Simplificando a fração
, obtemos
Observação prática:
, então também se pode escrever
.
Passo 6
Integração da segunda parcela
. Como 5 é constante, a integral é
Passo 7
Somando as duas integrais e fundindo as constantes
e
numa única constante
, obtemos a primitiva geral:
Passo 8
Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivando
,
que é exatamente
. Portanto
está correta.