f(x) é uma função real no intervalo (-2,3) e f(1)=pi. Considere p(x)=f(x)-(pi+3(x-1)) e suponha que lim x 1 p(x)x-1=0.
Qual é a equação da reta tangente ao gráfico de f em (1, pi) ?
Escolha uma opção:
y(x)=1+3 x.
y(x)=pi-3 x
y(x)=3 x+pi-3
y(x)=1+3(x-pi).
Nenhuma das anteriores.
Finalizar ten

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação dessa reta tangente. Precisaremos entender como a função se comporta perto de e usar essa informação para determinar a reta.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a reta tangente em um ponto é dada por:
y = f(a) + f'(a)(x - a)
Aqui, y = f(1) + f'(1)(x - 1) , então:
y = pi + f'(1)(x - 1)
Sabemos que , então a equação fica:

Passo 3

Para encontrar p(x) = f(x) - (pi + 3(x - 1)) , que é a inclinação da reta tangente, vamos analisar a expressão que nos foi dada:
limx to 1 p(x)x - 1 = 0
E sabemos que:
p(x) = f(x) - pi - 3(x - 1)
Vamos reescrever p(x)x - 1 = f(x) - pi - 3(x - 1)x - 1 :
Dividindo ambos os lados por :
O limite dessa expressão é zero, o que implica que a parte principal que contribui para a inclinação é o termo .

Passo 4

Isso significa que a derivada de f'(1) = 3 no ponto y = pi + 3(x - 1) é :
Agora podemos substituir esse valor na equação da reta tangente que montamos no Passo 2:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
y = pi + 3x - 3
y = 3x + (pi - 3)

Resposta

A equação da reta tangente é .

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