Considere
.
Seja
e tome
. Mostre que a função
determina uma bijeção de
sobre
cuja inversa é dada por
.
Seja
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação de Möbius
, onde
e
com
. Precisamos mostrar que
é bijetora de
sobre
e que sua inversa é
.
Passo 2
Para ver que
, calculamos
pois
e
. Logo
, isto é,
.
Passo 3
Para provar bijetividade, propomos a candidata a inversa
$$
g(z)=\frac{z-c}{1-\bar c,z}\n
\frac{z-c}{1-\bar c z}+c
=\frac{z-c+c(1-\bar c z)}{1-\bar c z}
=\frac{z(1-|c|^2)}{1-\bar c z}
=\frac{z-c+c(1-\bar c z)}{1-\bar c z}
=\frac{z(1-|c|^2)}{1-\bar c z}
1+\bar c\frac{z-c}{1-\bar c z}
=\frac{1-|c|^2}{1-\bar c z}
=\frac{1-|c|^2}{1-\bar c z}
$$
Dividindo dá . De modo análogo mostra-se
.
Dividindo dá
Passo 4
Como encontramos
tal que
e
, concluímos que
é bijeção de
sobre
e
é sua inversa.
Resposta
A função
é bijeção de
sobre
e sua inversa é
.