Considere z, w in C.
Seja D=z in C:|z|<1 e tome c in D. Mostre que a função f(z)=(z+c) /(1+barc z) determina uma bijeção de D sobre D cuja inversa é dada por f^-1(z)=(z-c) /(1-barc z).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação de Möbius f:;Dto D, onde D=zin C:,|z|<1 e f(z)=z+c1+bar c,z com cin D. Precisamos mostrar que f é bijetora de D sobre D e que sua inversa é f^-1(z)=tfracz-c1-bar c,z.

Passo 2

Para ver que f(D)subset D, calculamos
1-|f(z)|^2 =1-|z+c|^2|1+bar c,z|^2 =|1+bar c,z|^2-|z+c|^2|1+bar c,z|^2 =(1-|z|^2)(1-|c|^2)|1+bar c,z|^2>0
pois |z|<1 e |c|<1. Logo |f(z)|<1, isto é, f(z)in D.

Passo 3

Para provar bijetividade, propomos a candidata a inversa
$$
g(z)=\frac{z-c}{1-\bar c,z}\n g(z)=z-c1-bar c,zn
\frac{z-c}{1-\bar c z}+c
=\frac{z-c+c(1-\bar c z)}{1-\bar c z}
=\frac{z(1-|c|^2)}{1-\bar c z}
f(g(z))=z
1+\bar c\frac{z-c}{1-\bar c z}
=\frac{1-|c|^2}{1-\bar c z}
$$
Dividindo dá g(f(z))=z. De modo análogo mostra-se f(g(z)).

Passo 4

Como encontramos g tal que fcirc g=id e gcirc f=id, concluímos que f é bijeção de D sobre D e g é sua inversa.

Resposta

A função f é bijeção de D sobre D e sua inversa é f^-1(z)=z-c1-bar c,z.

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