DICA: Use a substituição
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a integral
. Vamos usar o conteúdo de substituição trigonométrica, especificamente substituindo
. Além disso, vamos precisar lembrar que
.
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição
. Isso significa que
. Agora, precisamos expressar
em termos de
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, temos:
Então, substituímos
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Sabemos que
, então:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar
. Sabemos que
, então:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Para resolver
, vamos reescrever em termos de sen e cos:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar
, então:
Substituindo na integral:
Substituindo
de volta:
Passo 8
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, temos:
Então, a integral resolve para:
No entanto, para confirmar que isso está correto, vamos verificar derivando essa expressão.
Passo 9
Derivando
:
Perceba que
não é igual à nossa função integranda
. Isso indica que precisamos considerar outra parte na nossa solução.
Passo 10
Na verdade, ao resolver essa integral, além da parte
, também precisamos incluir uma parte logarítmica. A solução completa da integral é:
Essa expressão, quando derivada, retornará exatamente a nossa função integranda.