Calcule todas as lambda - potências de z quando:
z=1 e lambda=2-i.

Passo 1

O exercício pede para calcular todas as λ-potências de z no caso z=1 e λ=2−i. O conteúdo envolvido é potenciação complexa, que usamos via exponencial complexa e logaritmo complexo, já que z^λ=exp(λ Log z).

Passo 2

Para definir z^λ, lembramos que para qualquer z≠0 e λ∈ℂ temos:

onde é o logaritmo complexo com infinitas folhas.

Passo 3

Precisamos achar . Como 1=|1|e^{i(2πk)}, temos

Passo 4

Agora calculamos o produto :
lambdaLog 1

Passo 5

Então

Mas 1^2 - i = e^(2 - i)Log 1 = e^2pi k + i4pi k = e^2pi k,e^i4pi k , pois e^i4pi k = cos(4pi k) + isin(4pi k) = 1 é múltiplo de 4pi k.

Passo 6

Logo todas as λ-potências de 1 são os valores
1^2 - i = e^2pi k, kinZ

Resposta

As λ-potências de z são todos os valores
en{e^{2\pi k}: k \in \mathbb{Z}}.

Exercícios relacionados