Para uma reação elementar do tipo \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} conduzida em um reator em batelada de 10 litros, com conversão de 79 \% e vazão mássica de saída de 0,87 \mathrm{~mol} / \mathrm{min}, calcule o tempo de reação. Sabemos que a velocidade específica de reação na temperatura em que ela ocorre é de 1,5 \mathrm{~min}^{-1}.
(\mathbf{t}=\mathbf{6 2 , 4} \mathbf{s})

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o tempo de reação:
  • Reação elementar \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} em reator em batelada de 10\\ \mathrm{L}.
  • Conversão desejada 79\% (ou X=0,79).
  • Vazão mássica de saída 0,87\\ \mathrm{mol/min} (valor fornecido no enunciado).
  • Velocidade específica de reação (constante de velocidade) k=1,5\\ \mathrm{min}^{-1}.
    Pergunta: calcular o tempo de reação necessário para atingir X=0,79.

Passo 2

Entendendo o que significa “velocidade específica” e como modelar um reator batelada:
  • Em batelada não há alimentação contínua nem escoamento durante a reação (o volume e a matéria do batel são fixos durante a reação). Por isso, a vazão de saída fornecida no enunciado não é necessária para calcular o tempo em um reator perfeitamente batelada; ela é um dado extra aqui.
  • Para uma reação elementar do tipo \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} que segue cinética de primeira ordem, a lei de taxa é
-\,\frac{dC_A}{dt} = k\,C_A
onde C_A(t) é a concentração de A no tempo t e k é a constante de velocidade. Vou mostrar a derivação passo a passo porque isso é essencial na prova.

Passo 3

Derivação da lei integrada de primeira ordem (explicação didática):
  • Começamos com a equação diferencial
-\,\frac{dC_A}{dt} = k\,C_A.
  • Separamos variáveis (colocamos todos os termos com C_A de um lado e t do outro):
\frac{dC_A}{C_A} = -k\,dt.
  • Integramos ambos os lados entre condições iniciais: no tempo t=0 a concentração é C_{A0} e no tempo t é C_A:
\int_{C_{A0}}^{C_A} \frac{dC_A}{C_A} = -\int_0^{t} k\,dt.
  • As integrais resultam em:
\ln\!\left(\frac{C_A}{C_{A0}}\right) = -k\,t.
  • Podemos reescrever isolando C_A:
C_A = C_{A0}\,e^{-k t}.
Explicação rápida: essa forma mostra decaimento exponencial da concentração de A com constante de tempo 1/k. A unidade de k é \mathrm{min}^{-1} aqui, então t ficará em minutos.

Passo 4

Relacionando conversão com concentrações:
  • Conversão X é a fração reagida de A, definida como
X = \frac{C_{A0} - C_A}{C_{A0}} = 1 - \frac{C_A}{C_{A0}}.
  • Usando C_A/C_{A0} = e^{-k t}, temos
X = 1 - e^{-k t}.
  • Isolando t a partir dessa relação:
1 - X = e^{-k t}
\ln(1 - X) = -k t
t = -\frac{1}{k}\,\ln(1 - X).
Comentário: esta é a fórmula que usaremos. Note que k tem unidade \mathrm{min}^{-1}, então t sairá em minutos.

Passo 5

Aplicando a fórmula com os números do enunciado:
  • Substituímos X=0,79 e k=1,5\\ \mathrm{min}^{-1} em
t = -\frac{1}{k}\ln(1 - X).
  • Primeiro calcule 1 - X:
1 - X = 1 - 0,79 = 0,21.
  • Então
t = -\frac{1}{1,5}\,\ln(0,21).

Passo 6

Cálculo numérico (passo a passo, sem pular contas):
  • Avaliando o logaritmo: \ln(0,21) \approx -1,56065.
  • Logo
t = -\frac{1}{1,5}\times(-1,56065) = \frac{1,56065}{1,5}.
  • Dividindo:
t \approx 1,040433\\ \mathrm{min}.

Passo 7

Converter o tempo para segundos (se o enunciado pedir segundos ou se você preferir):
  • Sabendo que 1\\ \mathrm{min} = 60\\ \mathrm{s},
t \approx 1,040433\times 60\\ \mathrm{s} \approx 62,42598\\ \mathrm{s}.
  • Arredondando de forma prática para a precisão dada no enunciado, obtemos 62,4\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Observações finais e cheque de coerência (dica para a prova):
  • A unidade de k determina a unidade de t: como k foi dado em \mathrm{min}^{-1}, calculei t em minutos e só converti no final para segundos.
  • O dado da “vazão mássica de saída” e do volume do reator não foi necessário porque o problema especificou que o reator é em batelada; em batelada não há fluxo contínuo que altere a massa durante a reação. Se fosse um reator contí­nuo (PFR ou CSTR) aí sim precisaríamos de vazão e volume para relacionar tempo ou conversão.
  • Portanto, o procedimento correto na prova é: reconhecer a ordem (primeira ordem), usar a lei integrada, relacionar com conversão e inserir valores.

Resposta

62,4\\ \mathrm{s}

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