Considere a semiesfera z=-raiz4-x^2-y^2
Determine o plano tangente a esta semiesfera no ponto (1,1,-raiz2)

Passo 1

Estamos lidando com a semiesfera definida por
z = -raiz4 - x^2 - y^2
e queremos o plano tangente a esse gráfico no ponto (1,1,-raiz2). Para isso vamos usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente a uma superfície z=f(x,y).

Passo 2

A função que descreve a superfície é
f(x,y) = -raiz4 - x^2 - y^2
Calculamos as derivadas parciais usando a regra da cadeia:
fx(x,y) = -12(4 - x^2 - y^2)^-1/2 cdot (-2x) = xraiz4 - x^2 - y^2,
fy(x,y) = yraiz4 - x^2 - y^2

Passo 3

No ponto (1,1) temos 4 - 1^2 - 1^2 = 2, então
fx(1,1) = 1raiz2,
fy(1,1) = 1raiz2

Passo 4

A equação do plano tangente a z=f(x,y) no ponto (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0), (x - x0) + fy(x0,y0), (y - y0)
Substituindo (x0,y0,z0)=(1,1,-raiz2) e as derivadas encontradas, obtemos
z + raiz2 = 1raiz2(x - 1) + 1raiz2(y - 1)
Reorganizando para a forma geral, chegamos ao plano procurado.

Resposta

x + y - \sqrt{2},z - 4 = 0

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