Seja a função f(x, y)=cccx y^5x^2+y^4 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)
Determine se f é contínua em (0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= x,y^5x^2+y^4&se (x,y)neq(0,0) 0&se (x,y)=(0,0)
Queremos testar continuidade em (0,0), ou seja, ver se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0

Passo 2

Para avaliar o limite, vamos controlar o valor absoluto de f usando uma desigualdade confortável. Note que para quaisquer reais x e y vale
x^2+y^4>=2|x|y^2,
que é a desigualdade de soma de quadrados (a2+b2\ge2ab com a=|x| e b=y^2).

Passo 3

Com essa desigualdade, estimamos
|f(x,y)|=|x|,|y|^5x^2+y^4<=|x|,|y|^52|x|y^2=|y|^32
Como isso independe de x, basta ver o comportamento de |y|^3/2 quando (x,y)→(0,0).

Passo 4

Quando (x,y)→(0,0) temos |y|^3/2→0. Logo
lim(x,y)to(0,0)|f(x,y)|=0
e, portanto,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)
Isto mostra que f é contínua em (0,0).

Resposta

f é contínua em (0,0).

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