Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial e a superfície . , é o helicoide com equação vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se o Teorema de Stokes é válido para o campo vetorial e a superfície que você forneceu. O Teorema de Stokes é um conceito da matemática que relaciona a circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral do rotacional desse campo sobre a superfície limitada por essa curva. Para resolver isso, vamos precisar:
Entender o campo vetorial .
Trabalhar com a superfície , que é um helicoide dado pela equação vetorial , onde e .
Aplicar o Teorema de Stokes para relacionar a integral de linha ao redor da borda de com a integral de superfície do rotacional de sobre .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a borda da superfície , que chamaremos de curva . Observando a parametrização de , a borda ocorre nos limites dos parâmetros e :
Quando : , que é uma linha vertical de a ao longo do eixo .
Quando : , que é uma hélice de a .
Portanto, a curva é composta por duas partes:
A hélice de , a .
A linha reta vertical de , a .
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de linha do campo ao longo da curva . O Teorema de Stokes nos diz que:
Para isso, precisamos calcular , que é o rotacional de .
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de :
Calculando o determinante:
nabla times F = (0 - 1) i - (1 - 0) j + (0 - 1) k = -i - j - k
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos parametrizar a superfície r(u, v) = u cos v i + u sen v j + v k, 0 <= u <= 1, 0 <= v <= pi e encontrar o vetor normal partial rpartial u = cos v i + sen v j . A parametrização dada é:
Para encontrar partial rpartial v = -u sen v i + u cos v j + k , calculamos os vetores tangentes às direções dS = partial rpartial u times partial rpartial v , du , dv e dS = i & j & k cos v & sen v & 0 - u sen v & u cos v & 1 :
O vetor normal = ( sen v cdot 1 - 0 cdot u cos v ) i - ( cos v cdot 1 - 0 cdot (-u sen v) ) j + ( cos v cdot u cos v - sen v cdot (-u sen v) ) k é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
dS = sen v i - cos v j + u (cos^2 v + sen^2 v) k , du , dv
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Como , temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS (-i - j - k) cdot (sen v i - cos v j + u k) , du , dv sobre (-i - j - k) cdot (sen v i - cos v j + u k) = -sen v + cos v - u :
Fazendo o produto escalar:
Portanto, a integral se torna:
Vamos integrar em integral duplaS (-sen v + cos v - u) , du , dv de 0 a 1 e em integral0^pi integral0^1 (-sen v + cos v - u) , du , dv de 0 a integral0^pi [ -sen v cdot u + cos v cdot u - u^22 ]0^1 , dv = integral0^pi (-sen v + cos v - 12) , dv :
Integrando em [ cos v + sen v - v2 ]0^pi = (cos pi + sen pi - pi2) - (cos 0 + sen 0 - 0) = (-1 + 0 - pi2) - (1 + 0) = -1 - pi2 -1 = -2 - pi2 :
Agora, integramos em :
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral de linha da curva F(r1(v)) = y i + z j + x k = sen v i + v j + cos v k para verificar se coincide com o resultado da integral de superfície.
A curva dr1dv = -sen v i + cos v j + k tem duas partes:
Hélice , sen v cdot (-sen v) + v cdot cos v + cos v cdot 1 = -sen^2 v + v cos v + cos v de integral0^pi (-sen^2 v + v cos v + cos v) , dv a F(r2(v)) = y i + z j + x k = 0 i + v j + 0 k .
Linha reta dr2dv = 0 i + 0 j + k , 0 cdot 0 + v cdot 0 + 0 cdot 1 = 0 de integralpi^0 0 , dv = 0 a integral0^pi (-sen^2 v + v cos v + cos v) , dv = integral0^pi -sen^2 v , dv + integral0^pi v cos v , dv + integral0^pi cos v , dv .
Vamos calcular cada parte:
Parte 1: Hélice integral sen^2 v , dv = v2 - sen 2v4 + C :
Derivando integral v cos v , dv = cos v + v sen v + C :
Produto escalar integral cos v , dv = sen v + C :
Integral da Parte 1:
Parte 2: Linha Reta - [ pi2 - sen 2pi4 - ( 0 - sen 04 ) ] + [ cos pi + pi sen pi - (cos 0 + 0 cdot sen 0) ] + [ sen pi - sen 0 ] :
Então, a integral total de linha é apenas a da Parte 1.
Calculando a integral da Parte 1:
Sabemos que:
Aplicando os limites de 0 a :
Simplificando:
Resposta
Aplicando o Teorema de Stokes, tanto a integral de linha ao redor de quanto a integral de superfície de sobre resultam em . Portanto, o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial e a superfície .