Considere a sentença \varphi=\forall \mathbf{x} \forall \mathbf{y} \exists \mathbf{z}(\mathbf{R}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \rightarrow \mathbf{R}(\mathbf{y}, \mathbf{z})), onde \mathbf{R} é um símbolo de predicado com dois argumentos.
Seja A=\{a, b, c, d\} e R=\{(b, c),(b, b),(b, a)\}. Temos M \vDash \varphi ? Justifique sua resposta, qualquer que seja ela

Passo 1

O enunciado nos dá a sentença
\varphi = \forall x \forall y \exists z \bigl(R(x,y)\to R(y,z)\bigr)
e a estrutura M com domínio A=\{a,b,c,d\} e relação
R = \{(b,c),\,(b,b),\,(b,a)\}.
Precisamos decidir se M\vDash\varphi, ou seja, se para todo par (x,y)\in A^2 existe algum z\in A que torne verdadeira a implicação R(x,y)\to R(y,z).

Passo 2

Interpretando a implicação, em lógica de predicados vale que
R(x,y)\to R(y,z)
é sempre verdadeira quando R(x,y) é falsa, e só exige algo quando R(x,y) é verdadeira. Logo, para verificar \varphi basta checar todos os pares (x,y) com R(x,y) verdadeira e, para cada um deles, encontrar um z tal que R(y,z) também seja verdadeira.

Passo 3

Os pares (x,y) em que R(x,y) é verdadeira são exatamente
(b,c),\quad(b,b),\quad(b,a).
Para (x,y)=(b,c) precisamos achar z tal que (c,z)\in R. Mas olhando a definição de R, não há nenhum par cujo primeiro componente seja c. Portanto não existe z com R(c,z).

Passo 4

Como para (b,c) não existe escolha de z que torne verdadeira a implicação, a condição do \exists z falha nesse caso. Logo, não se cumpre
\forall x \forall y \exists z\bigl(R(x,y)\to R(y,z)\bigr)
em M.

Resposta

M\not\vDash\varphi, pois para x=b e y=c temos R(b,c) mas não existe z com R(c,z).

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