1. Seja P um predicado com dois argumentos. Encontre um modelo que satisfaça a sentença \forall \mathrm{x}-\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{x}); e também encontre um que não a satisfaça.

Passo 1

O enunciado pede um modelo de lógica de predicados (ou seja, um domínio não vazio e uma interpretação para o predicado P) que faça
\forall x\,\lnot P(x,x)
verdadeiro; e outro modelo em que essa mesma sentença seja falsa. Vamos usar a definição de satisfação semântica: \forall x\,\lnot P(x,x) é verdadeira em um modelo se, para todo elemento d do domínio, a fórmula \lnot P(d,d) é verdadeira (isto é, P(d,d) é falsa).

Passo 2

Construção de um modelo que satisfaz \forall x\,\lnot P(x,x):
Defina o modelo
M_1 = (D_1,\,P^{M_1})
onde
D_1 = \{a,b\}
e
P^{M_1} = \varnothing.
Como P^{M_1} é o conjunto vazio, para qualquer d\in D_1 temos (d,d)\notin P^{M_1}, logo P(d,d) é falso e, portanto, \lnot P(d,d) é verdadeiro. Assim \forall x\,\lnot P(x,x) vale em M_1.

Passo 3

Construção de um modelo que não satisfaz \forall x\,\lnot P(x,x):
Defina o modelo
M_2 = (D_2,\,P^{M_2})
onde
D_2 = \{c\}
e
P^{M_2} = \{(c,c)\}.
Nesse caso, (c,c)\in P^{M_2}, então P(c,c) é verdadeiro e \lnot P(c,c) é falso. Logo não vale que “para todo x, \lnot P(x,x)”, e a sentença falha em M_2.

Resposta

Modelo que satisfaz \forall x\,\lnot P(x,x): M_1=(D_1,P^{M_1}) com D_1=\{a,b\} e P^{M_1}=\varnothing.
Modelo que não satisfaz \forall x\,\lnot P(x,x): M_2=(D_2,P^{M_2}) com D_2=\{c\} e P^{M_2}=\{(c,c)\}.

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