Considere a sequência
. Determine se a sequência é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência de números: $ \left(2, \frac{4}{3}, \frac{8}{5}, \frac{16}{7}, \frac{32}{9}, \cdots\right) $. A pergunta é: essa sequência converge ou não? Vamos usar conceitos de sequences e limites para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a sequência. Observando os termos:
- O numerador está dobrando a cada passo: 2, 4, 8, 16, 32, …
- O denominador está aumentando de 2 em 2 a partir de 1: 1, 3, 5, 7, 9, …
Então, podemos generalizar o enésimo termo da sequência como:
Passo 3
Agora, para verificar se a sequência converge, precisamos calcular o limite de $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente:
- Numerador: $ 2^{n} $ cresce de forma exponencial, ou seja, muito rápido.
- Denominador: $ 2n - 1 $ cresce de forma linear, ou seja, de maneira constante.
Como o numerador cresce muito mais rápido que o denominador, a fração inteira tende a crescer sem limites.
Passo 5
Portanto, concluímos que:
Isso significa que a sequência não converge para nenhum número finito.
Resposta
A sequência não é convergente; ela cresce sem limites à medida que $ n $ aumenta.