Verifique se cada série, dada abaixo, é convergente ou divergente e, no caso de convergência, dizer se é convergência absoluta ou condicional.
sumn=1^infty(-1)^n 7 cos (n pi3)n!

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar a série sumn=1^infty(-1)^n 7cosl(npi3r)n!, identificando convergência ou divergência e, se convergente, se é absoluta ou condicional.

Passo 2

Vamos definir o termo geral an = (-1)^n 7cos(npi3)n!. Para testar convergência absoluta, olhamos para |an| = 7,|cos(npi3)|n!.
Como |cos(tfracnpi3)|<=1 para todo n, temos a comparação
|an| <= 7n!
E sabemos que sumn=1^infty7n! = 7(e-1) < infty.
Pelo teste da comparação, sum|an| converge, logo a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 3

Conclusão: a série converge e, como sum|an| é convergente, a convergência é absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente.

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