Considere a sequência (2, 43, 85, 167, 329, cdots). Determine o termo geral desta sequência;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o termo geral da sequência $ \left(2, \frac{4}{3}, \frac{8}{5}, \frac{16}{7}, \frac{32}{9}, \cdots\right) $. Isso significa que queremos uma fórmula que, para qualquer posição $ n $, nos dá o valor desse termo. Para resolver isso, vamos analisar como os numeradores e denominadores estão se comportando na sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar só para os numeradores: $ 2, 4, 8, 16, 32, \cdots $. Observamos que cada número é o dobro do anterior. Isso é uma sequência geométrica onde cada termo é multiplicado por 2. Podemos expressar o numerador como $ 2^n $, onde $ n $ começa em 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar os denominadores: $ 1, 3, 5, 7, 9, \cdots $. Aqui, vemos que os denominadores aumentam de 2 em 2, começando em 1. Essa é uma sequência aritmética com primeiro termo 1 e razão 2. A fórmula para o $ n $-ésimo termo de uma sequência aritmética é $ a_n = a_1 + (n-1)d $, onde $ d $ é a razão. Então, o denominador pode ser expresso como $ 2n - 1 $.

Passo 4

Com os numeradores e denominadores identificados, podemos juntar as duas partes para formar o termo geral da sequência. O numerador é $ 2^n $ e o denominador é $ 2n - 1 $. Portanto, o termo geral $ a_n $ é:
2^n

Resposta

O termo geral da sequência é $ a_n = \frac{2^n}{2n - 1} $.

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