Obtenha e classifique os pontos críticos da função dada (diga se os máximos e os mínimos são globais ou não).
f(x, y)=x^5+y^5-5 x-5 y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que obter e classificar os pontos críticos da função dada:
f(x, y) = x^5 + y^5 - 5x - 5y
Conteúdo da matéria: Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e classificação de pontos críticos.
O que vamos precisar:
  • Calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
  • Encontrar os valores de e que tornam essas derivadas iguais a zero (pontos críticos).
  • Usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de sela.
  • Determinar se esses extremos são globais ou locais.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais da função fx = partial fpartial x = 5x^4 - 5 em relação a fy = partial fpartial y = 5y^4 - 5 e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero simultaneamente.
Então, temos o sistema de equações:
5x^4 - 5 = 0 5y^4 - 5 = 0
Podemos simplificar dividindo ambos os lados de cada equação por 5:
x^4 - 1 = 0 y^4 - 1 = 0

Passo 4

Resolvendo cada equação:
Para x^4 = 1 x = pm 1 :
y^4 = 1 y = pm 1
Para :

Passo 5

Portanto, os pontos críticos são todas as combinações de e que satisfazem e . Ou seja, temos quatro pontos críticos:

Passo 6

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 20x^3 fyy = partial^2 fpartial y^2 = 20y^3 fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0

Passo 7

Agora, avaliamos o determinante e em cada ponto crítico:
  1. Ponto :
    Como e , esse ponto é um mínimo local.
  2. Ponto :
    Como , esse ponto é um ponto de sela.
  3. Ponto :
    Como , esse ponto é um ponto de sela.
  4. Ponto :
    Como e , esse ponto é um máximo local.

Passo 8

Por fim, vamos determinar se esses extremos são globais ou locais.
  • Mínimo Local em : A função tem um comportamento crescente para valores grandes de e devido aos termos e , que dominam. Assim, é também o mínimo global.
  • Máximo Local em : Similarmente, devido aos termos de grau ímpar, a função tende a quando e tendem a ou . Portanto, é um máximo local, mas não é global.
  • Pontos de Sela em e : Esses pontos não são extremos, já que a função não atinge um valor máximo ou mínimo nesses pontos.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  1. Mínimo global
  2. – Ponto de sela
  3. – Ponto de sela
  4. Máximo local

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