Obtenha e classifique os pontos críticos da função dada (diga se os máximos e os mínimos são globais ou não).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que obter e classificar os pontos críticos da função dada:
Conteúdo da matéria: Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e classificação de pontos críticos.
O que vamos precisar:
- Calcular as derivadas parciais da função em relação a
e . - Encontrar os valores de
e que tornam essas derivadas iguais a zero (pontos críticos). - Usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de sela.
- Determinar se esses extremos são globais ou locais.
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero simultaneamente.
Então, temos o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados de cada equação por 5:
Passo 4
Resolvendo cada equação:
Para
:
Para
:
Passo 5
Portanto, os pontos críticos são todas as combinações de
e
que satisfazem
e
. Ou seja, temos quatro pontos críticos:
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Passo 7
Agora, avaliamos o determinante
e
em cada ponto crítico:
-
Ponto
: Comoe , esse ponto é um mínimo local. -
-
Ponto
: Como, esse ponto é um ponto de sela. -
-
Ponto
: Como, esse ponto é um ponto de sela. -
-
Ponto
: Comoe , esse ponto é um máximo local. -
Passo 8
Por fim, vamos determinar se esses extremos são globais ou locais.
-
Mínimo Local em
: A função tem um comportamento crescente para valores grandes de e devido aos termos e , que dominam. Assim, é também o mínimo global. -
Máximo Local em
: Similarmente, devido aos termos de grau ímpar, a função tende a quando e tendem a ou . Portanto, é um máximo local, mas não é global. -
Pontos de Sela em
e : Esses pontos não são extremos, já que a função não atinge um valor máximo ou mínimo nesses pontos.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
– Mínimo global -
– Ponto de sela -
– Ponto de sela -
– Máximo local