Obtenha e classifique os pontos críticos da função dada (diga se os máximos e os mínimos são globais ou não).
f(x, y)=3(x^2+3 y^2) e^-x^2-y^2

Passo 1

Estamos trabalhando com a função de duas variáveis f(x,y)=3l(x^2+3y^2r)e^-x^2-y^2. O objetivo é obter os pontos críticos, aplicar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto e determinar se os máximos e mínimos são globais. Vamos usar derivadas parciais, resolver o sistema fx=0,fy=0 e depois o teste do discriminante da matriz Hessiana.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, primeiro calculamos as derivadas parciais. Seja R=x^2+y^2. Calculamos:
fx=partialpartial xl[3(x^2+3y^2)e^-Rr]=6x e^-Rl(1-(x^2+3y^2)r)
fy=partialpartial yl[3(x^2+3y^2)e^-Rr]=6y e^-Rl(3-(x^2+3y^2)r)

Passo 3

Resolvendo fx=0 e fy=0: como e^-Rneq0, temos fatores
  • fx=0 x=0 ou x^2+3y^2=1.
  • fy=0 y=0 ou x^2+3y^2=3.
    As combinações consistentes geram exatamente os pontos
    (0,0), (pm1,0) e (0,pm1).

Passo 4

Em seguida montamos os elementos da Hessiana:
fxx=e^-Rl(6-30x^2-18y^2+12x^4+36x^2y^2r)
fyy=e^-Rl(18-6x^2-90y^2+12x^2y^2+36y^4r)
fxy=12xy,e^-Rl(x^2+3y^2-4r)

Passo 5

Agora avaliamos Hessiana em cada ponto crítico, calculamos o discriminante D=fxxfyy-fxy^2 e olhamos o sinal de fxx:
  • Em (0,0): fxx=6>0, fyy=18>0, D=108>0 ⇒ mínimo.
  • Em (pm1,0): fxx=-12e^-1<0, fyy=12e^-1>0, D<0 ⇒ ponto de sela.
  • Em (0,pm1): fxx=-12e^-1<0, fyy=-36e^-1<0, D>0 ⇒ máximo.

Passo 6

Como f(x,y)>=0 para todo (x,y) e fto0 no infinito, concluímos que o mínimo em (0,0) é global (valor 0) e os máximos em (0,pm1) (valor 9/e) são globais também. Os pontos (pm1,0) são pontos de sela.
Fizemos derivadas parciais, resolvemos o sistema para obter os pontos críticos, montamos a Hessiana, aplicamos o teste do discriminante e interpretamos os sinais para classificar cada ponto.

Resposta

Pontos críticos e classificações:
(0,0): mínimo global;
(±1,0): ponto de sela;
(0,±1): máximos globais.

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