Obtenha e classifique os pontos críticos da função dada (diga se os máximos e os mínimos são globais ou não).
 
Passo 1
Estamos trabalhando com a função de duas variáveis 
 . O objetivo é obter os pontos críticos, aplicar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto e determinar se os máximos e mínimos são globais. Vamos usar derivadas parciais, resolver o sistema 
  e depois o teste do discriminante da matriz Hessiana.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, primeiro calculamos as derivadas parciais. Seja 
 . Calculamos:
Passo 3
Resolvendo 
  e 
 : como 
 , temos fatores
- 
dá ou .  - 
dá ou . 
As combinações consistentes geram exatamente os pontos
, e .  
Passo 4
Em seguida montamos os elementos da Hessiana:
Passo 5
Agora avaliamos Hessiana em cada ponto crítico, calculamos o discriminante 
  e olhamos o sinal de 
 :
- Em 
: , , ⇒ mínimo.  - Em 
: , , ⇒ ponto de sela.  - Em 
: , , ⇒ máximo.  
Passo 6
Como 
  para todo 
  e 
  no infinito, concluímos que o mínimo em 
  é global (valor 
 ) e os máximos em 
  (valor 
 ) são globais também. Os pontos 
  são pontos de sela.
Fizemos derivadas parciais, resolvemos o sistema para obter os pontos críticos, montamos a Hessiana, aplicamos o teste do discriminante e interpretamos os sinais para classificar cada ponto.
Fizemos derivadas parciais, resolvemos o sistema para obter os pontos críticos, montamos a Hessiana, aplicamos o teste do discriminante e interpretamos os sinais para classificar cada ponto.
Resposta
Pontos críticos e classificações:
(0,0): mínimo global;
(±1,0): ponto de sela;
(0,±1): máximos globais.
(0,0): mínimo global;
(±1,0): ponto de sela;
(0,±1): máximos globais.