Obtenha e classifique os pontos críticos da função dada (diga se os máximos e os mínimos são globais ou não).
Passo 1
Estamos trabalhando com a função de duas variáveis
. O objetivo é obter os pontos críticos, aplicar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto e determinar se os máximos e mínimos são globais. Vamos usar derivadas parciais, resolver o sistema
e depois o teste do discriminante da matriz Hessiana.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, primeiro calculamos as derivadas parciais. Seja
. Calculamos:
Passo 3
Resolvendo
e
: como
, temos fatores
-
dá ou . -
dá ou .
As combinações consistentes geram exatamente os pontos
, e .
Passo 4
Em seguida montamos os elementos da Hessiana:
Passo 5
Agora avaliamos Hessiana em cada ponto crítico, calculamos o discriminante
e olhamos o sinal de
:
- Em
: , , ⇒ mínimo. - Em
: , , ⇒ ponto de sela. - Em
: , , ⇒ máximo.
Passo 6
Como
para todo
e
no infinito, concluímos que o mínimo em
é global (valor
) e os máximos em
(valor
) são globais também. Os pontos
são pontos de sela.
Fizemos derivadas parciais, resolvemos o sistema para obter os pontos críticos, montamos a Hessiana, aplicamos o teste do discriminante e interpretamos os sinais para classificar cada ponto.
Fizemos derivadas parciais, resolvemos o sistema para obter os pontos críticos, montamos a Hessiana, aplicamos o teste do discriminante e interpretamos os sinais para classificar cada ponto.
Resposta
Pontos críticos e classificações:
(0,0): mínimo global;
(±1,0): ponto de sela;
(0,±1): máximos globais.
(0,0): mínimo global;
(±1,0): ponto de sela;
(0,±1): máximos globais.