Mostre que
lim n!1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve fatoriais. A questão pede para mostrar que
limn to infty n!1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) = 0
Aqui, estamos lidando com limites e fatoriais. Para resolver isso, vamos analisar como o numerador e o denominador crescem conforme $ n $ aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o denominador: $ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) $. Esse produto é conhecido como o fatorial duplo dos números ímpares e pode ser expresso de uma forma diferente usando o fatorial comum. Sabemos que:
1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)
Isso simplifica nosso limite para:
1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) = (2n)!2^n cdot n!

Passo 3

Agora, precisamos analisar o comportamento dessa expressão quando $ n $ tende ao infinito. Sabemos que o fatorial cresce muito rapidamente. Para comparar $ (n!)^2 \cdot 2^n $ com $ (2n)! $, usamos a aproximação de Stirling, que diz que para grandes valores de $ n $:
n
Aplicando isso nas nossa expressão:
(n!)^2 cdot 2^n
E para $ (2n)! $:
(2n)!
Comparando os dois, vemos que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador devido ao fator adicional $ \sqrt{4\pi n} $, fazendo com que a fração vá a zero conforme $ n $ aumenta.

Resposta

0

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