Mostre que
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve fatoriais. A questão pede para mostrar que
Aqui, estamos lidando com limites e fatoriais. Para resolver isso, vamos analisar como o numerador e o denominador crescem conforme $ n $ aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o denominador: $ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) $. Esse produto é conhecido como o fatorial duplo dos números ímpares e pode ser expresso de uma forma diferente usando o fatorial comum. Sabemos que:
Isso simplifica nosso limite para:
Passo 3
Agora, precisamos analisar o comportamento dessa expressão quando $ n $ tende ao infinito. Sabemos que o fatorial cresce muito rapidamente. Para comparar $ (n!)^2 \cdot 2^n $ com $ (2n)! $, usamos a aproximação de Stirling, que diz que para grandes valores de $ n $:
Aplicando isso nas nossa expressão:
E para $ (2n)! $:
Comparando os dois, vemos que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador devido ao fator adicional $ \sqrt{4\pi n} $, fazendo com que a fração vá a zero conforme $ n $ aumenta.
Resposta
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