Considere a sequência (2, 43, 85, 167, 329, cdots). Determine
(a) o termo geral desta sequência;
(b) e se a sequência é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para achar (a) o termo geral da sequência e (b) verificar se ela converge. O conteúdo aqui é sequências numéricas e o conceito de convergência de sequência — precisamos de expressão fechada para o termo e estudar seu limite quando ntoinfty.

Passo 2

Observando os termos 2,,4/3,,8/5,,16/7,,32/9,dots, vemos que o numerador dobra a cada passo ( 2^1,2^2,2^3,dots) e o denominador são os ímpares começando em 1 ( 1,3,5,7,9,dots), ou seja, 2n-1. Com isso, propomos
an=2^n2n-1

Passo 3

Para estudar a convergência, lembramos que uma sequência (an) converge se o limite L=limntoinftyan existe e é finito. Caso contrário, dizemos que diverge.
Vamos calcular
limntoinftyan=limntoinfty2^n2n-1

Passo 4

Como o numerador cresce exponencialmente (ordem 2^n) e o denominador cresce apenas linearmente (ordem n), o quociente tende a infinito. Formalmente, para grandes n,
2^n2n-1approx2^nntoinfty,
logo a sequência não se aproxima de um valor finito, ou seja, diverge.

Resposta

(a) an=dfrac2^n2n-1
(b) A sequência diverge (não existe limite finito).

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