Considere a sequência
. Determine
(a) o termo geral desta sequência;
(b) e se a sequência é convergente.
(a) o termo geral desta sequência;
(b) e se a sequência é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para achar (a) o termo geral da sequência e (b) verificar se ela converge. O conteúdo aqui é sequências numéricas e o conceito de convergência de sequência — precisamos de expressão fechada para o termo e estudar seu limite quando
.
Passo 2
Observando os termos
, vemos que o numerador dobra a cada passo (
) e o denominador são os ímpares começando em 1 (
), ou seja,
. Com isso, propomos
Passo 3
Para estudar a convergência, lembramos que uma sequência
converge se o limite
existe e é finito. Caso contrário, dizemos que diverge.
Vamos calcular
Vamos calcular
Passo 4
Como o numerador cresce exponencialmente (ordem
) e o denominador cresce apenas linearmente (ordem
), o quociente tende a infinito. Formalmente, para grandes
,
logo a sequência não se aproxima de um valor finito, ou seja, diverge.
Resposta
(a)
(b) A sequência diverge (não existe limite finito).
(b) A sequência diverge (não existe limite finito).