DESAFIO: Calcule
integral0^1 integral0^1 e^max x^2, y^2 d V
onde max x^2, y^2 significa o maior dos números x^2 e y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral0^1integral0^1 e^maxx^2,y^2,dV. O conteúdo principal aqui é integração dupla em uma região retangular e o uso da função max. Vamos dividir o domínio conforme a relação entre x e y.

Passo 2

Como a função maxx^2,y^2 vale x^2 quando x>= y e y^2 quando y>= x, podemos usar simetria trocando x e y. Assim,
integral0^1integral0^1 e^maxx^2,y^2,dV = 2integral0^1integral0^x e^x^2,dy,dx
Agora integramos primeiro em y, tratando x como constante:
integral0^x e^x^2,dy = x,e^x^2
Substituindo na integral dupla, obtemos
$$
2\int_{0}^{1} x,e{x2},dx.$$

Passo 3

Para calcular 2integral0^1 x e^x^2,dx, note que a derivada de e^x^2 é 2x e^x^2. Logo,
2integral0^1 x e^x^2,dx = integral0^1 2x e^x^2,dx = l[e^x^2r]0^1 = e - 1

Resposta

e - 1

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