Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
O fluxo do campo de vetores F(x, y, z)=x i+0 j+0 k através da superfície do cubo (x, y, z) in R^3:|x| <= 1,|y| <= 2,|z| <= 3, orientada para fora, é 24.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial F(x,y,z)=x,i+0,j+0,k e pede o fluxo desse campo através da superfície do cubo definido por |x|<=1,;|y|<=2,;|z|<=3, orientada para fora. O conteúdo da matéria é o cálculo de fluxo de um campo vetorial e usaremos o Teorema da Divergência para simplificar o cálculo.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que o fluxo de F pela superfície partial V de um volume V orientada para fora é igual à integral tripla da divergência de F sobre V:
integral duplapartial V Fcdot dS=integral triplaV (nablacdot F),dV

Passo 3

Primeiro, calculamos a divergência de F:
nablacdot F=partialpartial x(x)+partialpartial y(0)+partialpartial z(0)=1
Em seguida, determinamos o volume do cubo. Os comprimentos em cada direção são:
(1-(-1))=2, (2-(-2))=4, (3-(-3))=6
Logo,
V=2times4times6=48
Assim, o fluxo é
Phi=integral triplaV(nablacdot F),dV=1times48=48

Passo 4

Como o resultado obtido para o fluxo é 48, diferente do valor 24 indicado na afirmação, concluímos que a afirmação é falsa.

Resposta

Falso, pois o fluxo correto é 48, não 24.

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