Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
Se
é uma função escalar e
, então
em todo ponto.
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A afirmação diz que se
é uma função escalar e
, então
em todo ponto. Vamos resolver isso usando conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e a divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento de
e seu módulo representa essa taxa de aumento. Em coordenadas cartesianas, fica assim:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre divergência. A divergência de um campo vetorial
é uma medida de quanto esse campo está “divergindo” de um ponto. Matemáticamente, é calculada como:
Passo 4
No nosso caso,
, então vamos calcular a divergência de
:
Isso simplifica para:
Aqui,
é o Laplaciano de
, que geralmente não é zero a menos que
seja uma função harmônica específica.
Passo 5
Portanto, a afirmação de que
em todo ponto só seria verdadeira se
para todos os pontos, o que não é garantido para uma função escalar qualquer.
Resposta
Falso. A divergência de
é igual ao Laplaciano de
,
, que não é necessariamente zero em todo ponto.