Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
Se f(x, y, z) é uma função escalar e F=nabla f, então div(F)=0 em todo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A afirmação diz que se é uma função escalar e , então em todo ponto. Vamos resolver isso usando conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e a divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) , denotado por , é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento de e seu módulo representa essa taxa de aumento. Em coordenadas cartesianas, fica assim:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre divergência. A divergência de um campo vetorial div(F) = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z é uma medida de quanto esse campo está “divergindo” de um ponto. Matemáticamente, é calculada como:

Passo 4

No nosso caso, div(F) = partialpartial x( partial fpartial x ) + partialpartial y( partial fpartial y ) + partialpartial z( partial fpartial z ) , então vamos calcular a divergência de div(F) = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = De:
Isso simplifica para:
Aqui, é o Laplaciano de , que geralmente não é zero a menos que seja uma função harmônica específica.

Passo 5

Portanto, a afirmação de que em todo ponto só seria verdadeira se para todos os pontos, o que não é garantido para uma função escalar qualquer.

Resposta

Falso. A divergência de é igual ao Laplaciano de , , que não é necessariamente zero em todo ponto.

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