sumn=2^+infty(-1)^n 1ln n
e as seguintes afirmaçōes:
A) A sequência
an=1ln n n >= 2
é crescente.
B) A sequência
an & =1ln n n & >= 2
é decrescente e
lim n +infty an=0
C) É uma série divergente.
D) É uma série convergente

Escolha uma opção:

a. Apenas D está correta.
b. Apenas A, B e C estão incorretas.
c. Apenas A e C estão incorretas.
d. Apenas A está correta.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos apresenta a série infinita
sumn=2^+infty (-1)^n 1ln n
e algumas afirmações sobre a sequência . O conteúdo envolve séries alternadas e propriedades de sequências. Para resolver, vamos verificar cada afirmação utilizando conceitos de convergência de séries e comportamento de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a afirmação A: “A sequência é crescente.”
Sabemos que aumenta conforme aumenta. Portanto, diminui à medida que cresce. Isso significa que a sequência é decrescente, não crescente. Assim, a afirmação A está incorreta.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação B: “A sequência é decrescente e .”
Como vimos no passo anterior, é decrescente. Além disso, o limite de quando tende ao infinito é de fato 0, já que cresce sem limites. Portanto, a afirmação B está correta.

Passo 4

Em seguida, a afirmação C: “É uma série divergente.”
Para verificar a convergência da série, observamos que é uma série alternada devido ao termo . Para que uma série alternada convirja, é necessário que os termos sejam decrescentes e que o limite de seja zero, o que é o caso aqui conforme a afirmação B. Portanto, a série converge. Assim, a afirmação C está incorreta.

Passo 5

Por fim, a afirmação D: “É uma série convergente.”
Como concluímos no passo anterior, a série é convergente porque satisfaz os critérios de uma série alternada. Portanto, a afirmação D está correta.

Resposta

c. Apenas A e C estão incorretas.

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