e as seguintes afirmaçōes:
A) A sequência
é crescente.
B) A sequência
é decrescente e
C) É uma série divergente.
D) É uma série convergente
Escolha uma opção:
a. Apenas D está correta.
b. Apenas A, B e C estão incorretas.
c. Apenas A e C estão incorretas.
d. Apenas A está correta.
A) A sequência
B) A sequência
D) É uma série convergente
b. Apenas A, B e C estão incorretas.
c. Apenas A e C estão incorretas.
d. Apenas A está correta.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que nos apresenta a série infinita
e algumas afirmações sobre a sequência
. O conteúdo envolve séries alternadas e propriedades de sequências. Para resolver, vamos verificar cada afirmação utilizando conceitos de convergência de séries e comportamento de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a afirmação A: “A sequência
é crescente.”
Sabemos que
aumenta conforme
aumenta. Portanto,
diminui à medida que
cresce. Isso significa que a sequência é decrescente, não crescente. Assim, a afirmação A está incorreta.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação B: “A sequência
é decrescente e
.”
Como vimos no passo anterior,
é decrescente. Além disso, o limite de
quando
tende ao infinito é de fato 0, já que
cresce sem limites. Portanto, a afirmação B está correta.
Passo 4
Em seguida, a afirmação C: “É uma série divergente.”
Para verificar a convergência da série, observamos que é uma série alternada devido ao termo
. Para que uma série alternada convirja, é necessário que os termos
sejam decrescentes e que o limite de
seja zero, o que é o caso aqui conforme a afirmação B. Portanto, a série converge. Assim, a afirmação C está incorreta.
Passo 5
Por fim, a afirmação D: “É uma série convergente.”
Como concluímos no passo anterior, a série é convergente porque satisfaz os critérios de uma série alternada. Portanto, a afirmação D está correta.
Resposta
c. Apenas A e C estão incorretas.