Seja a sequência ann >= 1, dada por a1=raiz2 e an+1=raiz2 an, n >= 1.
b) Mostre que an<2, para n >= 1.

Passo 1

Temos a sequência definida por a1=raiz2 e an+1=raiz2an. O conteúdo aqui é prova por indução para mostrar que ela é sempre limitada superiormente por 2.

Passo 2

Base da indução: para n=1 temos a1=raiz2. Como raiz2approx1,414<2, a propriedade an<2 vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k>=1 valha ak<2. Então
ak+1=raiz2,ak
Como a função raiz quadrada é crescente, a desigualdade se mantém. Isso fecha o passo indutivo.

Passo 4

Pela base e pelo passo indutivo, pelo princípio da indução matemática, concluímos que an<2 para todo n>=1.

Resposta

an<2 para todo n>=1.

Exercícios relacionados