Seja a sequência
, dada por
e
.
b) Mostre que
, para
.
b) Mostre que
Passo 1
Temos a sequência definida por
e
. O conteúdo aqui é prova por indução para mostrar que ela é sempre limitada superiormente por 2.
Passo 2
Base da indução: para
temos
. Como
, a propriedade
vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
. Então
Como a função raiz quadrada é crescente, a desigualdade se mantém. Isso fecha o passo indutivo.
Passo 4
Pela base e pelo passo indutivo, pelo princípio da indução matemática, concluímos que
para todo
.