Considere a sequência bn=3 n^2+12 n^2+5.
a. Calcule o limite da sequência quando n infty.
b. Esta sequência é convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a sequência
bn = 3n^2 + 12n^2 + 5
e pede (a) o limite quando n to infty e (b) se a sequência é convergente ou divergente. O conteúdo é limite de sequência racional (quociente de polinômios de mesmo grau). Vamos usar a divisão de numerador e denominador pelo maior grau em n, que é n^2.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador de bn por n^2:
bn = 3n^2 + 1 2n^2 + 5 = 3n^2n^2 + 1n^2 2n^2n^2 + 5n^2 = 3 + 1n^22 + 5n^2

Passo 3

Agora fazemos n to infty. Como 1n^2to 0 e 5n^2to 0, temos
limntoinfty bn = 3 + 02 + 0 = 32

Passo 4

Como o limite existe e é finito ( tfrac32), a sequência (bn) é convergente (por definição, sequência convergente é aquela que possui limite finito).

Resposta

a. limntoinfty bn = tfrac32
b. A sequência é convergente, pois tem limite finito igual a tfrac32.

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