Seja a sequência an=(-1)^n 1n.
a. A sequência é convergente? Se sim, qual é o limite?
b. A sequência é monótona? Explique.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = (-1)^n 1n,
e pede duas coisas:
  1. Verificar se an converge e, em caso afirmativo, determinar o limite.
  2. Verificar se an é monótona, ou seja, se ela é sempre crescente ( an+1>= an) ou sempre decrescente ( an+1<= an).
    Para resolver, vamos usar a definição de limite de sequência, o Teorema do Confronto (ou Squeeze) e a definição de sequência monótona.

Passo 2

Queremos limntoinftyan. Note que para todo n vale
-,1n ;<=; an ;=;(-1)^n1n;<=;1n
Sabemos que
limntoinftyl(-tfrac1nr)=0 e limntoinfty1n=0
Pelo Teorema do Confronto, fica
limntoinftyan = 0
Logo, a sequência é convergente e seu limite é 0.

Passo 3

Para ser monótona crescente precisaríamos ter an+1>= an para todo n, e para ser decrescente precisaríamos ter an+1<= an. Mas observando os primeiros termos:
a1 = (-1)^111 = -1, a2 = (+1)12 = tfrac12, a3 = -tfrac13, a4 = +tfrac14,
vemos que
a2 = tfrac12 > a1 = -1 mas a3 = -tfrac13 < a2 = tfrac12
Isso já mostra que não há nem sempre an+1>= an nem sempre an+1<= an. A alternância de sinal faz os termos subirem em um passo e caírem no seguinte. Portanto, a sequência não é monótona.

Resposta

a. A sequência é convergente e limntoinftyan = 0.
b. A sequência não é monótona, pois os sinais alternam e não há uma ordem crescente nem decrescente permanente.

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