Seja a sequência
.
a. A sequência é convergente? Se sim, qual é o limite?
b. A sequência é monótona? Explique.
a. A sequência é convergente? Se sim, qual é o limite?
b. A sequência é monótona? Explique.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede duas coisas:
- Verificar se
converge e, em caso afirmativo, determinar o limite. - Verificar se
é monótona, ou seja, se ela é sempre crescente ( ) ou sempre decrescente ( ).
Para resolver, vamos usar a definição de limite de sequência, o Teorema do Confronto (ou Squeeze) e a definição de sequência monótona.
Passo 2
Queremos
. Note que para todo
vale
Sabemos que
Pelo Teorema do Confronto, fica
Logo, a sequência é convergente e seu limite é
.
Passo 3
Para ser monótona crescente precisaríamos ter
para todo
, e para ser decrescente precisaríamos ter
. Mas observando os primeiros termos:
vemos que
Isso já mostra que não há nem sempre
nem sempre
. A alternância de sinal faz os termos subirem em um passo e caírem no seguinte. Portanto, a sequência não é monótona.
Resposta
a. A sequência é convergente e
.
b. A sequência não é monótona, pois os sinais alternam e não há uma ordem crescente nem decrescente permanente.
b. A sequência não é monótona, pois os sinais alternam e não há uma ordem crescente nem decrescente permanente.