Considere a sequência definida por an=n+12 n+3.
a. Escreva os cinco primeiros termos da sequência.
b. Determine se a sequência é crescente ou decrescente.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = n+12n+3
e pede: (a) os cinco primeiros termos; (b) verificar se a sequência é crescente ou decrescente. O conteúdo aqui é manipular frações para obter termos e usar o teste de monotonicidade de sequência pelo sinal de an+1-an.

Passo 2

Calculamos os cinco primeiros termos assumindo n começando em 1:
a1 = 1+12cdot1+3 = 25,
a2 = 2+12cdot2+3 = 37,
a3 = 3+12cdot3+3 = 49,
a4 = 4+12cdot4+3 = 511,
a5 = 5+12cdot5+3 = 613

Passo 3

Para testar a monotonicidade, computamos a diferença
an+1-an = (n+2)2(n+1)+3 - (n+1)2n+3 = n+22n+5 - n+12n+3
Vamos pôr tudo sobre o mesmo denominador:
an+1-an = (n+2)(2n+3) - (n+1)(2n+5)(2n+5)(2n+3)

Passo 4

No numerador temos
(n+2)(2n+3) - (n+1)(2n+5) = l(2n^2+7n+6r) - l(2n^2+7n+5r) =1
Logo
an+1-an = 1(2n+5)(2n+3) > 0
para todo n>=1. Isso mostra que a sequência é estritamente crescente.

Resposta

a. Os cinco primeiros termos são
25,;37,;49,;511,;613
b. A sequência é crescente.

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