A sequência
é definida por:
-
;
-
, para
.
a. Calcule os três primeiros termos da sequência.
b. A sequência é convergente? Se sim, calcule o limite L.
a. Calcule os três primeiros termos da sequência.
b. A sequência é convergente? Se sim, calcule o limite L.
Passo 1
O enunciado define uma sequência recursiva de
ª ordem por
e, para
,
Pede-se (a) os três primeiros termos de
e (b) verificar se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite
. Para isso, vamos primeiro iterar a relação para obter
e
; em seguida, estudamos a convergência via ponto fixo de recorrência linear.
Passo 2
Calculemos os termos iniciais:
Para ,
Para
Para
,
Portanto,
Passo 3
Como vimos, a recorrência mantém
para todo
. Mais ainda, de modo geral, uma recorrência
com
converge ao ponto fixo
que satisfaz
Aqui
e
. Logo
Portanto, a sequência é convergente e seu limite é
.
Resposta
a.
b. Sim, converge e
b. Sim,