A sequência an é definida por:
  • a1=2;
  • an+1=12 an+1, para n >= 1.
    a. Calcule os três primeiros termos da sequência.
    b. A sequência é convergente? Se sim, calcule o limite L.

Passo 1

O enunciado define uma sequência recursiva de 1ª ordem por
a1 = 2
e, para n>=1,
an+1 = 12,an + 1
Pede-se (a) os três primeiros termos de (an) e (b) verificar se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite L. Para isso, vamos primeiro iterar a relação para obter a2 e a3; em seguida, estudamos a convergência via ponto fixo de recorrência linear.

Passo 2

Calculemos os termos iniciais:
Para n=1,
a2 = 12,a1 + 1 = 12 cdot 2 + 1 = 1 + 1 = 2
Para n=2,
a3 = 12,a2 + 1 = 12 cdot 2 + 1 = 2
Portanto,
a1 = 2, a2 = 2, a3 = 2

Passo 3

Como vimos, a recorrência mantém an=2 para todo n. Mais ainda, de modo geral, uma recorrência
an+1 = alpha,an + beta com lvert alpharvert<1 converge ao ponto fixo L que satisfaz
L = alpha,L + beta
Aqui alpha = tfrac12 e beta = 1. Logo
L = 12,L + 1 Longrightarrow L - 12,L = 1 Longrightarrow 12,L = 1 Longrightarrow L = 2
Portanto, a sequência é convergente e seu limite é 2.

Resposta

a. a1=2,;a2=2,;a3=2
b. Sim, (an) converge e L=2

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