Considere a sequência dada por
Parte 1) [50%]
Determine se a sequência
é monótona ou não. Especificamente determine se
é decrescente
é crescente
não é crescente nem decrescente
Prova sua escolha.
Insira aqui a sua opção
(se decrescente),
(se crescente) ou
(se não cresce nem decresce) □
Dicas:
(a) verifique alguns dos primeiros termos para inferir se a sequência é crescente ou decrescente, e então verifique se isto é verdade em geral comparando
e
.
(b) para mostrar que uma sequência
cresce (ou decresce) podemos tentar analisar por uma das três maneiras:
- o sinal da diferença
(crescente se a diferença é positiva, decrescente se a diferença é negativa) ou
- com um certo cuidado, a depender dos sinais dos termos
e
, analisando se
Obs.: uma outra alternativa, mas que ainda não está disponível para nós por enquanto, seria analisar o sinal da derivada
para
(crescente se a derivada é positiva, decrescente se a derivada é negativa)
Parte 1) [50%]
Determine se a sequência
Prova sua escolha.
Insira aqui a sua opção
(b) para mostrar que uma sequência
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que eu escolha entre três opções:
-
é decrescente; -
é crescente; -
não é crescente nem decrescente.
Tenho que provar formalmente a opção escolhida. Vou trabalhar com
(ou seja
). A estratégia que vou usar é verificar o sinal de
: se essa diferença for negativa para todo
então a sequência é estritamente decrescente; se for positiva, é estritamente crescente; se variar de sinal, não é monotônica.
Passo 2
Antes de provar, vale olhar alguns termos iniciais para ganhar intuição (contando de
):
Observação rápida: os termos vão ficando mais negativos (menores) conforme
aumenta, então parece decrescente. Agora vamos provar rigorosamente.
Passo 3
Definição útil (explicando): uma sequência
é estritamente decrescente se, para todo
, valer
. Equivalente e prático para prova é mostrar que a diferença
é negativa para todo
. Vou calcular essa diferença e verificar seu sinal.
Passo 4
Calculo explícito de
e da diferença:
Logo
Passo 5
Agora faço a subtração das frações dentro dos parênteses com denominador comum
:
Calculo o numerador passo a passo:
portanto
Assim
Passo 6
Substituindo de volta na diferença:
Agora analisamos o sinal: para todo
temos
e
, então o denominador
é positivo. O numerador
é negativo. Portanto a fração inteira é negativa:
Passo 7
Conclusão lógica e didática: como
para todo
, temos
em todo o domínio, isto é, a sequência é estritamente decrescente. (Significa que cada termo é menor que o anterior; não há empates nem oscilações.)