Considere a sequência dada por a_{n}=\frac{-4 n}{n+7}
Parte 1) [50%]
Determine se a sequência a_{n} é monótona ou não. Especificamente determine se
<1>a_{n} é decrescente
<\mathbf{2}>a_{n} é crescente
<3>a_{n} não é crescente nem decrescente
Prova sua escolha.
Insira aqui a sua opção \mathbf{1} (se decrescente), \mathbf{2} (se crescente) ou \mathbf{3} (se não cresce nem decresce) □

Dicas:

(a) verifique alguns dos primeiros termos para inferir se a sequência é crescente ou decrescente, e então verifique se isto é verdade em geral comparando a_{n+1} e a_{n}.
(b) para mostrar que uma sequência a_{n} cresce (ou decresce) podemos tentar analisar por uma das três maneiras:
  1. o sinal da diferença a_{n+1}-a_{n} (crescente se a diferença é positiva, decrescente se a diferença é negativa) ou
  2. com um certo cuidado, a depender dos sinais dos termos a_{n+1} e a_{n}, analisando se \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \lesseqgtr 1
Obs.: uma outra alternativa, mas que ainda não está disponível para nós por enquanto, seria analisar o sinal da derivada f^{\prime}(n) para a_{n}=f(n) (crescente se a derivada é positiva, decrescente se a derivada é negativa)
\_ \_\_\_

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{-4n}{n+7} e pede que eu escolha entre três opções:
  1. a_{n} é decrescente;
  2. a_{n} é crescente;
  3. a_{n} não é crescente nem decrescente.
Tenho que provar formalmente a opção escolhida. Vou trabalhar com n\in\mathbb{N} (ou seja n=1,2,3,\dots). A estratégia que vou usar é verificar o sinal de a_{n+1}-a_{n}: se essa diferença for negativa para todo n então a sequência é estritamente decrescente; se for positiva, é estritamente crescente; se variar de sinal, não é monotônica.

Passo 2

Antes de provar, vale olhar alguns termos iniciais para ganhar intuição (contando de n=1):
a_{1}=\frac{-4\cdot1}{1+7}=\frac{-4}{8}=-\tfrac{1}{2}=-0{,}5,
a_{2}=\frac{-4\cdot2}{2+7}=\frac{-8}{9}\approx -0{,}888\ldots,
a_{3}=\frac{-4\cdot3}{3+7}=\frac{-12}{10}=-1{,}2,
a_{4}=\frac{-4\cdot4}{4+7}=\frac{-16}{11}\approx -1{,}4545\ldots
Observação rápida: os termos vão ficando mais negativos (menores) conforme n aumenta, então parece decrescente. Agora vamos provar rigorosamente.

Passo 3

Definição útil (explicando): uma sequência (a_n) é estritamente decrescente se, para todo n, valer a_{n+1}<a_n. Equivalente e prático para prova é mostrar que a diferença
a_{n+1}-a_n
é negativa para todo n. Vou calcular essa diferença e verificar seu sinal.

Passo 4

Calculo explícito de a_{n+1} e da diferença:
a_{n+1}=\frac{-4(n+1)}{(n+1)+7}=\frac{-4(n+1)}{n+8}.
Logo
a_{n+1}-a_n = \frac{-4(n+1)}{n+8} - \frac{-4n}{n+7} = -4\!\left(\frac{n+1}{n+8}-\frac{n}{n+7}\right).

Passo 5

Agora faço a subtração das frações dentro dos parênteses com denominador comum (n+8)(n+7):
\frac{n+1}{n+8}-\frac{n}{n+7} = \frac{(n+1)(n+7)-n(n+8)}{(n+8)(n+7)}.
Calculo o numerador passo a passo:
(n+1)(n+7)=n^2+8n+7, \qquad n(n+8)=n^2+8n,
portanto
(n+1)(n+7)-n(n+8)=\bigl(n^2+8n+7\bigr)-\bigl(n^2+8n\bigr)=7.
Assim
\frac{n+1}{n+8}-\frac{n}{n+7}=\frac{7}{(n+8)(n+7)}.

Passo 6

Substituindo de volta na diferença:
a_{n+1}-a_n = -4\cdot\frac{7}{(n+8)(n+7)} = -\frac{28}{(n+8)(n+7)}.
Agora analisamos o sinal: para todo n\in\mathbb{N} temos n+7>0 e n+8>0, então o denominador (n+8)(n+7) é positivo. O numerador -28 é negativo. Portanto a fração inteira é negativa:
a_{n+1}-a_n < 0\qquad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.

Passo 7

Conclusão lógica e didática: como a_{n+1}-a_n<0 para todo n, temos a_{n+1}<a_n em todo o domínio, isto é, a sequência é estritamente decrescente. (Significa que cada termo é menor que o anterior; não há empates nem oscilações.)

Resposta

\mathbf{1}

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