Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias de tipo infinito e uso de testes de comparação para decidir convergência.
Passo 2
Analisamos primeiro o comportamento em
. Para
pequeno,
, de modo que
Como
a região próxima a
não causa divergência.
Passo 3
Agora o comportamento em
. Se
, o fator
decai exponencialmente e domina o polinômio
. Por exemplo, pelo teste da razão para a integral em
:
logo
converge se
.
Passo 4
Para os demais casos de
:
- Se
, a integral vira , que diverge. - Se
, então cresce exponencialmente e diverge.
Resposta
A integral converge se, e somente se,
; diverge para
.