Responda se é convergente ou divergente as seguintes integrais impróprias, e justifique.
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t} t^{2} d t

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\,t^{2}\,dt.
O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias de tipo infinito e uso de testes de comparação para decidir convergência.

Passo 2

Analisamos primeiro o comportamento em t\to0^+. Para t pequeno, \exp(-s t)\approx1, de modo que
e^{-s t}\,t^{2}\sim t^{2}.
Como
\int_{0}^{1}t^{2}\,dt=\frac{1}{3}<+\infty,
a região próxima a 0 não causa divergência.

Passo 3

Agora o comportamento em t\to+\infty. Se s>0, o fator e^{-s t} decai exponencialmente e domina o polinômio t^{2}. Por exemplo, pelo teste da razão para a integral em [1,\infty):
\lim_{t\to\infty}\frac{(t+1)^{2}e^{-s(t+1)}}{t^{2}e^{-s t}} =\lim_{t\to\infty}\frac{(t+1)^{2}}{t^{2}}\;e^{-s} =e^{-s}<1,
logo \int_{1}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt converge se s>0.

Passo 4

Para os demais casos de s:
  • Se s=0, a integral vira \int_{0}^{\infty}t^{2}dt, que diverge.
  • Se s<0, então e^{-s t}=e^{|s|t} cresce exponencialmente e \int_{1}^{\infty}t^{2}e^{|s|t}dt diverge.

Resposta

A integral converge se, e somente se, s>0; diverge para s\le 0.

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