Determine os limites se existirem:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{2 x}\right)^{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{x^{2}}.
O conteúdo envolvido é limite de tipo exponencial. Vamos usar a reescrita como exponencial e a expansão em série de Taylor de \ln(1+u).

Passo 2

Reescrevemos a expressão como
\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{x^{2}} =\exp\Bigl(x^{2}\,\ln\bigl(1+\tfrac{1}{2x}\bigr)\Bigr).
Para x\to+\infty temos u=\tfrac{1}{2x}\to0 e a expansão
\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+o(u^{2})
vale para u pequeno.

Passo 3

Substituindo u=\tfrac{1}{2x} na expansão,
\ln\Bigl(1+\tfrac{1}{2x}\Bigr) =\frac{1}{2x}-\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2x}\Bigr)^{2}+o\Bigl(\frac{1}{x^{2}}\Bigr) =\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^{2}}+o\Bigl(\frac{1}{x^{2}}\Bigr).
Multiplicando por x^{2},
x^{2}\,\ln\Bigl(1+\tfrac{1}{2x}\Bigr) =x^{2}\Bigl(\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^{2}}+o\bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\bigr)\Bigr) =\frac{x}{2}-\frac{1}{8}+o(1).
À medida que x\to+\infty, esse termo tende a +\infty. Logo
\exp\Bigl(x^{2}\ln(1+\tfrac{1}{2x})\Bigr) \to\exp(+\infty)=+\infty.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{x^{2}}=+\infty.

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