Considere a sequência definida por
Mostre
é uma sequência monótona e que
, para todo
. Conclua que
é convergente e calcule o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma sequência definida por:
O que precisamos fazer é mostrar que essa sequência é monótona (ou seja, está sempre aumentando ou sempre diminuindo) e que todos os seus termos são menores ou iguais a 2. Depois, com base nisso, vamos concluir que a sequência converge e encontrar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências monótonas e limites em matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência é monótona. Para isso, vamos ver se cada termo é maior ou menor que o anterior. Olhando a fórmula de recorrência:
Podemos rearrumar para entender como
se relaciona com
. Vamos calcular alguns termos para ter uma ideia:
Parece que a sequência está aumentando. Para provar isso de forma geral, assumimos que
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que todos os termos da sequência são menores ou iguais a 2. Vamos usar indução matemática:
Base da indução: Para
, temos
, que é verdade.
Passo da indução: Assumimos que
. Queremos mostrar que
.
Portanto, se
, então
. Assim, por indução,
para todo
.
Passo 4
Como mostramos que a sequência é monótona (está sempre aumentando) e está limitada acima por 2, podemos usar o Teorema da Convergência para Sequências Monótonas. Esse teorema afirma que toda sequência monótona e limitada converge para um limite.
Passo 5
Para encontrar o limite
, assumimos que a sequência converge e que:
Agora, resolvemos para
:
Resposta
O limite da sequência
é
.