Considere a sequência definida por
a1=1, an+1=2 an+34, n >= 1
Mostre an é uma sequência monótona e que an <= 2, para todo n in N. Conclua que an é convergente e calcule o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma sequência definida por:
a1=1, an+1=2 an+34, n >= 1
O que precisamos fazer é mostrar que essa sequência é monótona (ou seja, está sempre aumentando ou sempre diminuindo) e que todos os seus termos são menores ou iguais a 2. Depois, com base nisso, vamos concluir que a sequência converge e encontrar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências monótonas e limites em matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência é monótona. Para isso, vamos ver se cada termo é maior ou menor que o anterior. Olhando a fórmula de recorrência:
an+1 = 2an + 34
Podemos rearrumar para entender como an+1 se relaciona com an. Vamos calcular alguns termos para ter uma ideia:
  • a1 = 1
  • a2 = 2(1) + 34 = 54 = 1,25
  • a3 = 2(1,25) + 34 = 2,5 + 34 = 5,54 = 1,375
  • a4 = 2(1,375) + 34 = 2,75 + 34 = 5,754 = 1,4375
Parece que a sequência está aumentando. Para provar isso de forma geral, assumimos que an+1 > an.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que todos os termos da sequência são menores ou iguais a 2. Vamos usar indução matemática:
Base da indução: Para n=1, temos a1 = 1 <= 2, que é verdade.
Passo da indução: Assumimos que an <= 2. Queremos mostrar que an+1 <= 2.
an+1 = 2an + 34 <= 2(2) + 34 = 74 = 1,75 <= 2
Portanto, se an <= 2, então an+1 <= 2. Assim, por indução, an <= 2 para todo n in N.

Passo 4

Como mostramos que a sequência é monótona (está sempre aumentando) e está limitada acima por 2, podemos usar o Teorema da Convergência para Sequências Monótonas. Esse teorema afirma que toda sequência monótona e limitada converge para um limite.

Passo 5

Para encontrar o limite L, assumimos que a sequência converge e que:
L = limn to infty an+1 = limn to infty 2an + 34 = 2L + 34
Agora, resolvemos para L:
4L = 2L + 3 4L - 2L = 3 2L = 3 L = 32 = 1,5

Resposta

O limite da sequência an é 1,5.

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