Considere a sequência definida por
a1=1, an+1=raiz2 an, n >= 1
Mostre an é uma sequência monótona e que 1 <= an <= 2, para todo n in N. Conclua que an é convergente e calcule o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma sequência onde o primeiro termo é 1, e cada termo seguinte é a raiz quadrada de duas vezes o termo anterior. A matéria que vamos usar aqui envolve sequências monótonas, limites e propriedades de convergência. Precisamos mostrar que essa sequência é sempre crescente ou decrescente (monótona), está sempre entre 1 e 2, e que ela chega a um valor fixo quando n cresce indefinidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência é monótona. Isso significa que vamos ver se cada termo é maior ou igual que o anterior (crescente) ou menor ou igual (decrescente). Vamos calcular os primeiros termos para ter uma ideia:
  • $ a_1 = 1 $
  • $ a_2 = \sqrt{2 \times 1} = \sqrt{2} \approx 1,414 $
  • $ a_3 = \sqrt{2 \times 1,414} \approx 1,682 $
  • $ a_4 = \sqrt{2 \times 1,682} \approx 1,834 $
Vemos que os termos estão aumentando, então a sequência parece ser crescente.

Passo 3

Agora, vamos provar que a sequência é realmente crescente. Ou seja, queremos mostrar que $ a_{n+1} \geq a_n $ para todo $ n $.
Sabemos que $ a_{n+1} = \sqrt{2 a_n} $.
Queremos que $ \sqrt{2 a_n} \geq a_n $.
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
$ 2 a_n \geq a_n^2 $
Rearranjando:
$ a_n^2 - 2 a_n \leq 0 $
Fatorando:
$ a_n (a_n - 2) \leq 0 $
Isso acontece quando $ 0 \leq a_n \leq 2 $. Como nosso primeiro termo é 1 e vimos que os termos seguintes estão aumentando até pouco mais que 1, tudo está dentro desse intervalo. Portanto, a sequência é crescente.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que $ 1 \leq a_n \leq 2 $ para todo $ n $. Já vimos que $ a_1 = 1 $ e $ a_2 \approx 1,414 $, então começa em 1 e aumenta. Vamos assumir que $ 1 \leq a_n \leq 2 $ e ver o que acontece com $ a_{n+1} $:
$ a_{n+1} = \sqrt{2 a_n} $
Como $ a_n \geq 1 $:
$ 2 a_n \geq 2 $
Então $ \sqrt{2 a_n} \geq \sqrt{2} \approx 1,414 $, que é maior que 1.
E como $ a_n \leq 2 $:
$ 2 a_n \leq 4 $
Então $ \sqrt{2 a_n} \leq \sqrt{4} = 2 $.
Portanto, $ 1 \leq a_n \leq 2 $ para todo $ n $.

Passo 5

Como mostramos que a sequência é crescente e está limitada acima por 2, de acordo com o Teorema da Monotonia, toda sequência monótona e limitada é convergente. Então, a sequência $ {a_n} $ converge para algum limite $ L $.

Passo 6

Para encontrar o limite $ L $, vamos considerar que, quando $ n $ tende ao infinito, $ a_n $ e $ a_{n+1} $ se aproximam de $ L $. Então:
$ L = \sqrt{2 L} $
Elevando ambos os lados ao quadrado:
$ L^2 = 2 L $
Rearranjando:
$ L^2 - 2 L = 0 $
Fatorando:
$ L (L - 2) = 0 $
As soluções são $ L = 0 $ ou $ L = 2 $. Mas vimos que todos os termos da sequência são maiores ou iguais a 1, então descartamos $ L = 0 $. Portanto, o limite é 2.

Resposta

A sequência $ {a_n} $ é monótona crescente, está sempre entre 1 e 2, e converge para o limite $ L = 2 $.

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