Determine se a sequência
é convergente ou divergente. Em caso de convergência, determine o limite.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: precisamos determinar se a sequência $ \left{a_{n}\right} $ definida por $ a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1} - n} $ converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o limite.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites para sequências infinitas, especificamente manipulando expressões envolvendo raízes para simplificar e encontrar o comportamento da sequência quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Começamos por analisar a expressão $ a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1} - n} $. Quando $ n $ cresce, $ \sqrt{n^{2}+1} $ se aproxima de $ n $, então o denominador $ \sqrt{n^{2}+1} - n $ tende a zero, o que sugere que $ a_{n} $ pode estar tendendo ao infinito ou a algum valor.
Passo 3
Para simplificar a expressão e encontrar o limite, vamos racionalizar o denominador. Multiplicamos numerador e denominador pela expressão conjugada $ \sqrt{n^{2}+1} + n $:
Passo 4
Calculando o denominador:
Portanto, a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos simplificar $ \sqrt{n^{2}+1} $. Podemos fatorar $ n^{2} $ de dentro da raiz:
Para $ n $ grande, $ \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} \approx 1 + \frac{1}{2n^{2}} $, então:
Passo 6
Substituindo na expressão para $ a_{n} $:
Conforme $ n $ tende ao infinito, $ 2n $ tende ao infinito e $ \frac{1}{2n} $ tende a zero.
Passo 7
Portanto, vemos que $ a_{n} $ cresce sem limites conforme $ n $ aumenta, o que significa que a sequência diverge para o infinito.
Resposta
A sequência $ \left{a_{n}\right} $ é divergente, pois tende ao infinito quando $ n $ tende ao infinito.