Para quais valores de
a série
é convergente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir para quais valores de $ k $ naturais a série
é convergente. Isso envolve o estudo de séries infinitas e, mais especificamente, entender quando uma série de termos envolvendo fatorial converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série
, se o limite
existe, então:
- Se $ L < 1 $, a série converge.
- Se $ L > 1 $, a série diverge.
- Se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série, onde $ a_n = \frac{(n!)^{2}}{(k n)!} $.
Passo 3
Calculando $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o denominador. Para grandes valores de $ n $, os termos $ k n + 1 $ até $ k n + k $ são aproximadamente $ k n $. Então, podemos aproximar:
Portanto, a razão fica:
Passo 5
Para encontrar o limite $ L $, consideramos:
Agora, analisamos o comportamento desse limite dependendo de $ k $:
- Se $ k - 2 > 0 $ (ou seja, $ k > 2 $), então $ n^{k - 2} $ cresce sem limite, fazendo com que $ L = 0 $.
- Se $ k - 2 = 0 $ (ou seja, $ k = 2 $), então $ L = \frac{1}{2^{2} \cdot n^{0}} = \frac{1}{4} $.
- Se $ k - 2 < 0 $ (ou seja, $ k = 1 $), então $ n^{k - 2} = n^{-1} $ e $ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1^{1} \cdot n^{-1}}} = \infty $.
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão:
- Para $ k > 2 $, $ L = 0 < 1 $ ⇒ a série converge.
- Para $ k = 2 $, $ L = \frac{1}{4} < 1 $ ⇒ a série também converge.
- Para $ k = 1 $, $ L = \infty > 1 $ ⇒ a série diverge.
Resposta
A série é convergente para todos os valores naturais de $ k $ maiores ou iguais a 2. Ou seja, para todo $ k \in \mathbb{N} $ com $ k \geq 2 $.