Determine se a sequência
é convergente ou divergente. Em caso de convergência, determine o limite.
Passo 1
Beleza! A gente precisa descobrir se a sequência $ a_n = \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{\ln n}} $ converge ou diverge quando $ n $ tende ao infinito. Vamos usar conhecimentos de limites de sequências e propriedades de logaritmos e exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a sequência para facilitar a análise. Sabemos que $ \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{\ln n}} = e{\ln\left(\left(\frac{1}{n}\right){\frac{1}{\ln n}}\right)} $. Usando a propriedade dos logaritmos $ \ln(a^b) = b \ln a $, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o expoente:
Então, a sequência fica:
Passo 4
Como $ e^{-1} $ é uma constante (aproximadamente 0,3679), isso significa que, independentemente de $ n $, $ a_n $ sempre será igual a $ e^{-1} $.
Resposta
A sequência $ \left{a_n\right} $ é convergente e o seu limite é $ e^{-1} $.