Determine se a sequência
é convergente ou divergente. Em caso de convergência, determine o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência $ {a_n} $ é convergente ou divergente. Se for convergente, também temos que descobrir qual é o limite dela. A sequência dada é $ a_n = \cos(\pi n) $. Então, vamos usar conceitos de sequências e convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente ou divergente. Convergente quer dizer que, conforme $ n $ aumenta, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de um certo número, que é o limite. Já divergente é quando a sequência não tende a nenhum número específico.
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência $ a_n = \cos(\pi n) $. Para entender o comportamento dela, vamos calcular alguns termos:
- Para $ n = 0 $: $ a_0 = \cos(0) = 1 $
- Para $ n = 1 $: $ a_1 = \cos(\pi) = -1 $
- Para $ n = 2 $: $ a_2 = \cos(2\pi) = 1 $
- Para $ n = 3 $: $ a_3 = \cos(3\pi) = -1 $
Passo 4
Observamos que a sequência alterna entre 1 e -1 conforme $ n $ aumenta. Os termos não estão se aproximando de um único número; ao invés disso, ficam pulando entre esses dois valores.
Passo 5
Como os termos não estão se estabilizando em um único valor, a sequência não está convergindo para nenhum limite específico. Ela continua alternando entre 1 e -1 sem se aproximar de um número fixo.
Resposta
A sequência $ {a_n} = \cos(\pi n) $ é divergente, pois não converge para nenhum limite específico.