Considere a sequência ( x_{n} ) definida por x_{2 n-1}=-\frac{1}{n} e x_{2 n}=1+\frac{1}{n}. Mostre que \liminf x_{n}=0 e \limsup x_{n}=1.

Passo 1

O enunciado define a sequência (x_n) por
x_{2n-1} = -\frac{1}{n}, \qquad x_{2n} = 1 + \frac{1}{n}.
Queremos mostrar que \liminf x_n = 0 e \limsup x_n = 1.
Para isso, vamos usar as definições via supremo e ínfimo de caudas de sequência.

Passo 2

Lembrando as definições:
\liminf_{n\to\infty} x_n \;=\;\sup_{n\ge1}\,\inf_{k\ge n} x_k, \qquad \limsup_{n\to\infty} x_n \;=\;\inf_{n\ge1}\,\sup_{k\ge n} x_k.
Ou seja, para cada n consideramos o menor valor de x_k com k\ge n, e depois fazemos o supremo desses ínfimos; analogamente para o limsup.

Passo 3

Vamos achar \displaystyle \inf_{k\ge n} x_k.
Entre os termos com índice k\ge n há tanto valores negativos (os ímpares) quanto positivos (os pares). O menor valor do “resto” da sequência será sempre o primeiro termo ímpar que aparece a partir de n. Sejam
m = \bigl\lceil \tfrac{n}{2}\bigr\rceil,
então 2m-1 é o menor índice ímpar \ge n, e
\inf_{k\ge n} x_k = x_{2m-1} = -\frac{1}{m}.

Passo 4

Como m=\lceil n/2\rceil\to\infty quando n\to\infty, temos
\inf_{k\ge n} x_k = -\frac{1}{\lceil n/2\rceil} \;\longrightarrow\;0.
E a sequência \inf_{k\ge n}x_k é crescente em n, de modo que
\sup_{n\ge1}\inf_{k\ge n}x_k =\lim_{n\to\infty}\inf_{k\ge n}x_k =0.
Logo \displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n=0.

Passo 5

Agora \displaystyle \sup_{k\ge n} x_k.
O maior valor entre os termos com k\ge n será sempre o primeiro termo par que aparece a partir de n. Usando o mesmo m=\lceil n/2\rceil, o índice par é 2m e
\sup_{k\ge n} x_k = x_{2m} = 1 + \frac{1}{m}.

Passo 6

Como m\to\infty,
\sup_{k\ge n}x_k =1 + \frac{1}{\lceil n/2\rceil} \;\longrightarrow\;1.
Além disso \sup_{k\ge n}x_k é decrescente em n, então
\inf_{n\ge1}\sup_{k\ge n}x_k =\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n}x_k =1.
Logo \displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n=1.

Resposta

\displaystyle \liminf_{n\to\infty}x_n = 0 \displaystyle \limsup_{n\to\infty}x_n = 1

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