Prove as seguintes sentenças:
Se x_{n}>c>0, y_{n}>0 \forall n \in \mathbb{N}, então \lim y_{n}=0, então \lim \frac{x_{n}}{y_{n}}=+\infty.

Passo 1

Resumindo, temos duas sequências reais (x_{n}) e (y_{n}) tais que \,x_{n}>c>0 e \,y_{n}>0 para todo n, e sabemos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}y_{n}=0.
O que queremos provar é que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=+\infty.
O conteúdo usado será a definição de limite de sequência que “vai a zero” e de sequência que “vai a +\infty”.

Passo 2

Recordando definições:
  1. \displaystyle\lim_{n\to\infty}y_{n}=0 significa que, dado qualquer \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|y_{n}-0|<\varepsilon,
ou seja,
y_{n}<\varepsilon.
  1. \displaystyle\lim_{n\to\infty}z_{n}=+\infty significa que, dado qualquer M>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
z_{n}>M.

Passo 3

Seja agora um M>0 arbitrário. Como \lim y_{n}=0, aplicamos a definição com
\varepsilon=\frac{c}{M}>0.
Logo, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
y_{n}<\frac{c}{M}.

Passo 4

Para n\ge N temos então
\frac{x_{n}}{y_{n}} \;\ge\; \frac{c}{y_{n}} \;>\; \frac{c}{\,\frac{c}{M}\,} \;=\; M.
A primeira desigualdade vem de x_{n}>c, e a segunda de y_{n}<c/M.

Passo 5

Acabámos de mostrar que, para todo M>0, existe N tal que, sempre que n\ge N, \displaystyle\frac{x_{n}}{y_{n}}>M.
Pela definição, isso é precisamente \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=+\infty.

Resposta

Portanto, sob as hipóteses dadas,
\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}} \;=\; +\infty.

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