Prove as seguintes sentenças:
Se
, então
, então
.
Se
Passo 1
Resumindo, temos duas sequências reais
e
tais que
e
para todo
, e sabemos que
.
O que queremos provar é que .
O conteúdo usado será a definição de limite de sequência que “vai a zero” e de sequência que “vai a ”.
O que queremos provar é que
O conteúdo usado será a definição de limite de sequência que “vai a zero” e de sequência que “vai a
Passo 2
Recordando definições:
-
significa que, dado qualquer , existe tal que, para todo ,
ou seja,
-
significa que, dado qualquer , existe tal que, para todo ,
Passo 3
Seja agora um
arbitrário. Como
, aplicamos a definição com
Logo, existe
tal que, para todo
,
Passo 4
Para
temos então
A primeira desigualdade vem de
, e a segunda de
.
Passo 5
Acabámos de mostrar que, para todo
, existe
tal que, sempre que
,
.
Pela definição, isso é precisamente .
Pela definição, isso é precisamente
Resposta
Portanto, sob as hipóteses dadas,