Considere a sequência (
) definida por
e
. Mostre que
e
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Queremos mostrar que
e
.
Para isso, vamos usar as definições via supremo e ínfimo de caudas de sequência.
Para isso, vamos usar as definições via supremo e ínfimo de caudas de sequência.
Passo 2
Lembrando as definições:
Ou seja, para cada
consideramos o menor valor de
com
, e depois fazemos o supremo desses ínfimos; analogamente para o limsup.
Passo 3
Vamos achar
.
Entre os termos com índice há tanto valores negativos (os ímpares) quanto positivos (os pares). O menor valor do “resto” da sequência será sempre o primeiro termo ímpar que aparece a partir de
. Sejam
Entre os termos com índice
então
é o menor índice ímpar
, e
Passo 4
Como
quando
, temos
E a sequência
é crescente em
, de modo que
Logo
.
Passo 5
Agora
.
O maior valor entre os termos com será sempre o primeiro termo par que aparece a partir de
. Usando o mesmo
, o índice par é
e
O maior valor entre os termos com
Passo 6
Como
,
Além disso
é decrescente em
, então
Logo
.